Integrar as equações diferenciais não-homogêneas de coeficientes constantes
y^prime prime-2 y^prime+3 y=exp [-x] cos x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea de coeficientes constantes
y'' - 2y' + 3y = e^-xcos x
O método é: (1) achar a solução geral da parte homogênea e (2) encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - 2y' + 3y = 0,
cuja equação característica é
r^2 - 2r + 3 = 0
As raízes são
r = 2pmraiz4 - 122 = 1 pm iraiz2
Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^xcosl(raiz2,xr) + C2 e^xsinl(raiz2,xr)

Passo 3

Para a particular, como o termo forçante é e^-xcos x, tentamos
yp(x) = e^-xl(Acos x + Bsin xr)
Calculando yp' e yp'' e substituindo em y'' - 2y' + 3y obtém-se o sistema
5A - 4B = 1, 4A + 5B = 0
Resolvendo, achamos
A = 541, B = -441
Assim
yp(x) = e^-xl(541cos x - 441sin xr)

Passo 4

A solução geral da equação não-homogênea é a soma
y(x) = yh(x) + yp(x)
ou seja
y(x) = C1 e^xcosl(raiz2,xr) + C2 e^xsinl(raiz2,xr) + e^-xl(541cos x - 441sin xr)

Resposta

y(x) = C1 e^xcosl(raiz2,xr) + C2 e^xsinl(raiz2,xr) + e^-xl(tfrac541cos x - tfrac441sin xr)

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