Integrar as equações diferenciais
(x^2+a^2) d y+(2 x^2+x y) d x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(x^2+a^2),dy+(2x^2+xy),dx=0
Trata-se de uma equação de primeira ordem em y(x). Vamos reescrevê-la na forma padrão
dydx+P(x),y=Q(x),
identificando os coeficientes P(x) e Q(x).

Passo 2

Dividindo tudo por dx e por x^2+a^2, obtemos
(x^2+a^2)dydx+x,y+2x^2=0 Longrightarrow dydx+xx^2+a^2,y+2x^2x^2+a^2=0
Logo
P(x)=xx^2+a^2, Q(x)=-2x^2x^2+a^2

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=expl(integral P(x),dxr) =expl(integralxx^2+a^2,dxr) =expl(tfrac12ln(x^2+a^2)r) =raizx^2+a^2

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(x) temos
raizx^2+a^2;dydx +xraizx^2+a^2;y =-2,x^2raizx^2+a^2
O lado esquerdo é a derivada de ,yraizx^2+a^2, isto é,
ddxl(yraizx^2+a^2r) =-2,x^2raizx^2+a^2
Integrando em x,
yraizx^2+a^2 =-2integralx^2raizx^2+a^2,dx + C

Passo 5

Para calcular
I=integralx^2raizx^2+a^2,dx
escrevemos x^2=(x^2+a^2)-a^2, de modo que
I =integralraizx^2+a^2,dx -a^2integral1raizx^2+a^2,dx
Usando as fórmulas padrões
integralraizx^2+a^2,dx =x2raizx^2+a^2 +a^22lnl(x+raizx^2+a^2r),
integral1raizx^2+a^2,dx =lnl(x+raizx^2+a^2r),
segue
I =x2raizx^2+a^2 +a^22lnl(x+raizx^2+a^2r) -a^2lnl(x+raizx^2+a^2r)
=x2raizx^2+a^2 -a^22lnl(x+raizx^2+a^2r)
Portanto
-2I =-xraizx^2+a^2 +a^2lnl(x+raizx^2+a^2r)
Substituindo em yraizx^2+a^2=-2I+C obtemos a solução implícita.

Resposta

yraizx^2+a^2 -xraizx^2+a^2 +a^2lnl(x+raizx^2+a^2r) =C,
com C constante de integração.

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