Integrar as equações diferenciais
x(x d yd x-y)=y^2-x^2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
xl(x,dydx-yr)=y^2-x^2
O conteúdo aqui é reconhecer uma ODE homogênea, pois ao isolar tfracdydx obtemos
dydx=y^2+xy - x^2x^2,
que é função de y/x. Para resolver, vamos usar a substituição
y = v x,
onde v é função de x.

Passo 2

Com y=v x, temos
dydx=v + xdvdx
Substituindo em
dydx=y^2+xy - x^2x^2
ficamos com
v + xdvdx =(v x)^2 + x,(v x) - x^2x^2 =v^2x^2+v x^2-x^2x^2 =v^2+v-1

Passo 3

Isolando o termo com tfracdvdx, obtemos
xdvdx=v^2-1
Essa é uma equação separável em v e x.

Passo 4

Separamos as variáveis:
dvv^2-1=dxx
Para integrar a esquerda usamos frações parciais:
1v^2-1 =12l(1v-1-1v+1r),
logo
integraldvv^2-1 =12lnl|v-1v+1r| + C1,
enquanto
integraldxx=ln|x|+C2

Passo 5

Igualando as integrais e absorvendo constantes, temos
12lnl|v-1v+1r| =ln|x|+C Longrightarrow lnl|v-1v+1r| =2ln|x|+2C =lnl(C',x^2r),
de onde
v-1v+1=C',x^2

Passo 6

Resolvendo para v:
v-1=C'x^2(v+1) Longrightarrow v,(1-C'x^2)=1+C'x^2 Longrightarrow v=1+C'x^21-C'x^2
Como v=y/x, a solução geral é
y=x,1+C'x^21-C'x^2,
onde C' é a constante arbitrária.

Passo 7

Há também as soluções singulares obtidas quando se quarda ,v^2-1=0, ou seja v=pm1, que dão
y=x e y=-x,
que satisfazem diretamente a equação original.

Resposta

A solução geral é
boxedy=x,1+C,x^21-C,x^2,
mais as soluções singulares y=x e y=-x.

Exercícios relacionados