Integrar as equações diferenciais
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
O conteúdo aqui é reconhecer uma ODE homogênea, pois ao isolar
obtemos
que é função de
. Para resolver, vamos usar a substituição
onde
é função de
.
Passo 2
Com
, temos
Substituindo em
ficamos com
Passo 3
Isolando o termo com
, obtemos
Essa é uma equação separável em
e
.
Passo 4
Separamos as variáveis:
Para integrar a esquerda usamos frações parciais:
logo
enquanto
Passo 5
Igualando as integrais e absorvendo constantes, temos
de onde
Passo 6
Resolvendo para
v :
Como
v=y/x , a solução geral é
onde
C' é a constante arbitrária.
Passo 7
Há também as soluções singulares obtidas quando se quarda
,v^2-1=0 , ou seja
v=pm1 , que dão
que satisfazem diretamente a equação original.
Resposta
A solução geral é
mais as soluções singulares
y=x e
y=-x .