Integrar os sistemas de equações diferenciais
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear de coeficientes constantes
e pede a solução geral
(x(t),y(t)) . Vamos eliminar
y formando uma EDO de segunda ordem em
x .]
Passo 2
Derivando em
t a primeira equação temos
Pela segunda equação,
dydt=x+1 . Logo obtemos a EDO
Passo 3
Para resolver
escrevemos a solução geral como soma da homogênea e de uma particular.
A homogênea satisfaz
A homogênea satisfaz
com polinômio característico
r^2-1=0 , raízes
r=pm1 , de onde
Procuramos
xp constante, digamos
xp=A . Então
0-A=1 implica
A=-1 .
Passo 4
Somando homogênea e particular, a solução geral de
x é
Passo 5
Para
y usamos
dxdt=y+1 . Como
temos
Resposta
onde
C1,C2 são constantes arbitrárias.