Integrar os sistemas de equações diferenciais
l d xd t=y+1 d yd t=x+1

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de coeficientes constantes
dxdt=y+1,[6pt] dydt=x+1,
e pede a solução geral (x(t),y(t)). Vamos eliminar y formando uma EDO de segunda ordem em x.]

Passo 2

Derivando em t a primeira equação temos
d^2xdt^2=ddt(y+1)=dydt
Pela segunda equação, dydt=x+1. Logo obtemos a EDO
d^2xdt^2-x=1

Passo 3

Para resolver
x''-x=1
escrevemos a solução geral como soma da homogênea e de uma particular.
A homogênea satisfaz
xh''-xh=0,
com polinômio característico r^2-1=0, raízes r=pm1, de onde
xh(t)=C1e^t+C2e^-t
Procuramos xp constante, digamos xp=A. Então 0-A=1 implica A=-1.

Passo 4

Somando homogênea e particular, a solução geral de x é
x(t)=C1e^t+C2e^-t-1

Passo 5

Para y usamos dxdt=y+1. Como
dxdt=C1e^t - C2e^-t,
temos
y(t)=dxdt-1 = C1e^t - C2e^-t-1

Resposta

x(t)=C1e^t+C2e^-t-1, y(t)=C1e^t - C2e^-t-1,
onde C1,C2 são constantes arbitrárias.

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