Suponha que a lâmina ocupe uma região R limitada pelas retas x=0, y=0 e y=1-x que tenha como função densidade rho(x, y)=x+y.
(1,0) Determine o momento da lâmina inteira em relação ao eixo y(My).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício onde temos uma lâmina (ou placa) que ocupa uma região limitada pelas retas , e . A função densidade dessa lâmina é . O que precisamos determinar é o momento da lâmina inteira em relação ao eixo , que é representado por . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas, e entender o que é o momento em física.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento My = integral duplaR x cdot rho(x, y) , dA . Em termos simples, o momento em relação a um eixo mede a “distribuição” da massa em relação a esse eixo. Matemáticamente, para calcular , usamos a fórmula:
Aqui, representa a distância da massa ao eixo , é a função densidade, e é o elemento de área na região .

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração para a região My = integral0^1 integral0^1 - x x (x + y) , dy , dx . Dado que é limitado por , e , podemos definir:
  • varia de 0 a 1 (já que quando , )
  • Para cada , varia de 0 a
Então, a integral ficará assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a x(x + y) = x^2 + xy . Expandindo integral0^1 - x (x^2 + xy) , dy = x^2 y + x y^22 |0^1 - x :
= x^2 (1 - x) + x (1 - x)^22 - [0 + 0] = x^2 (1 - x) + x (1 - x)^22
Agora, integramos com respeito a de 0 a :
Substituindo os limites:

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão obtida:
x^2 (1 - x) = x^2 - x^3
x (1 - x)^22 = x (1 - 2x + x^2)2 = x - 2x^2 + x^32
Então, somando as duas partes:
x^2 - x^3 + x - 2x^2 + x^32 = (x^2 - x^3) + x2 - x^2 + x^32 = x2 - x^32

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão com respeito a My = integral0^1 (x2 - x^32) dx = 12 integral0^1 x , dx - 12 integral0^1 x^3 , dx de 0 a 1:
integral0^1 x , dx = x^22 |0^1 = 12
Calculando cada integral:
integral0^1 x^3 , dx = x^44 |0^1 = 14
My = 12 cdot 12 - 12 cdot 14 = 14 - 18 = 18
Substituindo de volta:

Resposta

O momento da lâmina inteira em relação ao eixo é .

Exercícios relacionados