Suponha que a lâmina ocupe uma região R limitada pelas retas e que tenha como função densidade . Determine o momento da lâmina inteira em relação ao eixo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício onde temos uma lâmina (ou placa) que ocupa uma região limitada pelas retas , e . A função densidade dessa lâmina é . O que precisamos determinar é o momento da lâmina inteira em relação ao eixo , que é representado por . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas, e entender o que é o momento em física.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o momento . Em termos simples, o momento em relação a um eixo mede a “distribuição” da massa em relação a esse eixo. Matemáticamente, para calcular , usamos a fórmula:
Aqui, representa a distância da massa ao eixo , é a função densidade, e é o elemento de área na região .
Passo 3
Vamos identificar os limites de integração para a região . Dado que é limitado por , e , podemos definir:
varia de 0 a 1 (já que quando , )
Para cada , varia de 0 a
Então, a integral ficará assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a . Expandindo :
Agora, integramos com respeito a de 0 a :
Substituindo os limites:
Passo 5
Agora, simplificamos a expressão obtida:
x^2 (1 - x) = x^2 - x^3
x (1 - x)^22 = x (1 - 2x + x^2)2 = x - 2x^2 + x^32