Integrar os sistemas de equações diferenciais
l d yd x+z=0 d zd x+4 y=0

Passo 1

O exercício pede para integrar o sistema de equações diferenciais acopladas
dydx + z = 0, dzdx + 4y = 0
Aqui o conteúdo é resolver um sistema homogêneo de EDOs de primeira ordem transformando-o numa única EDO de segunda ordem.

Passo 2

Da primeira equação
dydx + z = 0
isolamos
z = -dydx = -y'

Passo 3

Como temos
z = -y',
então
z' = -y''
Substituindo em
dzdx + 4y = 0
os leva a
-z' + 4y = 0 Longrightarrow -(-y'') + 4y = 0 Longrightarrow y'' - 4y = 0

Passo 4

A equação
y'' - 4y = 0
é linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Usamos a equação característica
r^2 - 4 = 0
com raízes
r = pm 2
Logo a solução geral é
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-2x

Passo 5

Para encontrar
z(x), voltamos em
z = -y'
Calculando
y'(x) = 2C1 e^2x - 2C2 e^-2x,
temos
z(x) = -l(2C1 e^2x - 2C2 e^-2xr) = -2C1 e^2x + 2C2 e^-2x

Resposta

y(x) = C1 e^2x + C2 e^-2x, z(x) = -2C1 e^2x + 2C2 e^-2x

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