Integrar os sistemas de equações diferenciais
l d xd t=x-2 y d yd t=x-y

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear homogêneo de EDOs de primeira ordem, que envolve achar as funções x(t) e y(t) que satisfazem
dxdt=x-2y dydt=x-y
O conteúdo é sistemas lineares, e vamos usar o método de redução a uma EDO de ordem duas para uma das variáveis.

Passo 2

Vamos escrever o sistema em matriz para entender a estrutura. Definindo X=xy, temos
X'=A,X,
com
A=1 & -21 & -1
Mas em vez de diagonalizar, vamos eliminar y diferenciando a primeira equação.

Passo 3

Da primeira equação temos
x'=x-2yLongrightarrow y=x-x'2
Derivando ambos os lados dessa expressão:
y'=x'-x''2
Como também y'=x-y, substituímos e igualamos:
x'-x''2=x-x-x'2
Multiplicando por 2:
x'-x''=2x-(x-x')=x+x'
Reorganizando dá
-x''-x=0
ou seja
x''+x=0

Passo 4

A equação x''+x=0 é a clássica equação de oscilador harmônico. Sua solução geral é
x(t)=Acos t+Bsin t,
onde A e B são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora recuperamos y(t) usando y=(x-x')/2. Calculamos
x'(t)=-Asin t+Bcos t
Logo
y(t)=x(t)-x'(t)2=Acos t+Bsin t -(-Asin t+Bcos t)2
Fazendo as contas:
y(t)=(Acos t -Bcos t)+(Bsin t +Asin t)2=(A-B)cos t+(A+B)sin t2

Passo 6

Portanto, a solução geral do sistema é dada por
x(t)=Acos t+Bsin t, y(t)=tfracA-B2cos t+tfracA+B2sin t,
com A e B constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

x(t)=A\cos t+B\sin t, y(t)=\tfrac{A-B}{2}\cos t+\tfrac{A+B}{2}\sin t

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