Integrar os sistemas de equações diferenciais
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear homogêneo de EDOs de primeira ordem, que envolve achar as funções
e
que satisfazem
O conteúdo é sistemas lineares, e vamos usar o método de redução a uma EDO de ordem duas para uma das variáveis.
Passo 2
Vamos escrever o sistema em matriz para entender a estrutura. Definindo
X=xy , temos
com
Mas em vez de diagonalizar, vamos eliminar
y diferenciando a primeira equação.
Passo 3
Da primeira equação temos
Derivando ambos os lados dessa expressão:
Como também
y'=x-y , substituímos e igualamos:
Multiplicando por 2:
Reorganizando dá
ou seja
Passo 4
A equação
x''+x=0 é a clássica equação de oscilador harmônico. Sua solução geral é
onde
A e
B são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora recuperamos
y(t) usando
y=(x-x')/2 . Calculamos
Logo
Fazendo as contas:
Passo 6
Portanto, a solução geral do sistema é dada por
com
A e
B constantes determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
x(t)=A\cos t+B\sin t, y(t)=\tfrac{A-B}{2}\cos t+\tfrac{A+B}{2}\sin t