Suponha que a lâmina ocupe uma região R limitada pelas retas e que tenha como função densidade . Conclua com as coordenadas do CENTRO DE MASSA da Lâmina .
Passo 1
Vamos lá! O que a gente tem aqui é uma lâmina que ocupa uma região delimitada pelas retas , e . A função densidade dessa lâmina é .
Conteúdo necessário:
Cálculo de integrais duplas.
Fórmulas para o centro de massa.
Vamos precisar calcular as integrais que determinam as coordenadas e do centro de massa usando as fórmulas:
Onde é a massa total da lâmina:
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa total .
A região está limitada por , e . Isso forma um triângulo com vértices em , e .
Vamos configurar a integral dupla para :
Passo 3
Vamos resolver a integral interna em :
Calculando cada parte:
x(1 - x) + (1 - x)^22 = x - x^2 + 1 - 2x + x^22
Somando as duas partes:
= x - x^2 + 12 - x + x^22 = 12 - x^22
Simplificando:
Passo 4
Agora, integramos o resultado em M = integral0^1 ( 12 - x^22 ) dx = 12 integral0^1 (1 - x^2) , dx de 0 a 1:
Agora, vamos calcular barx = 1M integral duplaR x rho(x, y) , dA = 113 cdot 18 = 3 cdot 18 = 38 :
Passo 8
Vamos repetir o processo para integral duplaR y (x + y) , dA = integral0^1 integral0^1 - x y(x + y) , dy , dx . Primeiro, calculamos y(x + y) = xy + y^2 :
integral0^1 - x (xy + y^2) , dy = x y^22 + y^33 gr|0^1 - x
Multiplicando = x (1 - x)^22 + (1 - x)^33 pela densidade:
Integramos em :
Substituindo os limites:
Passo 9
Simplificando a expressão:
= x (1 - 2x + x^2)2 + (1 - 3x + 3x^2 - x^3)3
= x - 2x^2 + x^32 + 1 - 3x + 3x^2 - x^33
Para somar as frações, vamos achar o denominador comum, que é 6: