Suponha que a lâmina ocupe uma região R limitada pelas retas x=0, y=0 e y=1-x que tenha como função densidade rho(x, y)=x+y.
(0,5) Conclua com as coordenadas do CENTRO DE MASSA da Lâmina (barx, bary).

Passo 1

Vamos lá! O que a gente tem aqui é uma lâmina que ocupa uma região barx = 1M integral duplaR x rho(x, y) , dA e bary = 1M integral duplaR y rho(x, y) , dA delimitada pelas retas M = integral duplaR rho(x, y) , dA , e . A função densidade dessa lâmina é .
Conteúdo necessário:
  • Cálculo de integrais duplas.
  • Fórmulas para o centro de massa.
Vamos precisar calcular as integrais que determinam as coordenadas e do centro de massa usando as fórmulas:
Onde é a massa total da lâmina:

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa total M = integralx=0^1 integraly=0^1 - x (x + y) , dy , dx .
A região está limitada por , e . Isso forma um triângulo com vértices em , e .
Vamos configurar a integral dupla para :

Passo 3

Vamos resolver a integral interna em integral0^1 - x (x + y) , dy = integral0^1 - x x , dy + integral0^1 - x y , dy :
integral0^1 - x x , dy = x cdot y gr|0^1 - x = x(1 - x)
Calculando cada parte:
integral0^1 - x y , dy = y^22 gr|0^1 - x = (1 - x)^22
x(1 - x) + (1 - x)^22 = x - x^2 + 1 - 2x + x^22
Somando as duas partes:
= x - x^2 + 12 - x + x^22 = 12 - x^22
Simplificando:

Passo 4

Agora, integramos o resultado em M = integral0^1 ( 12 - x^22 ) dx = 12 integral0^1 (1 - x^2) , dx de 0 a 1:
= 12 ( x - x^33 gr|0^1 ) = 12 ( 1 - 13 ) = 12 cdot 23 = 13
Calculando a integral:
Então, a massa total .

Passo 5

Agora, vamos calcular integral duplaR x (x + y) , dA = integral0^1 integral0^1 - x x(x + y) , dy , dx para encontrar x(x + y) = x^2 + xy :
integral0^1 - x (x^2 + xy) , dy = x^2 y + x y^22 gr|0^1 - x
Primeiro, multiplicamos = x^2 (1 - x) + x (1 - x)^22 = x^2 - x^3 + x (1 - 2x + x^2)2 pela densidade:
= x^2 - x^3 + x - 2x^2 + x^32 = x^2 - x^3 + x2 - x^2 + x^32
Agora, integramos em = x2 - x^32 :
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos em integral duplaR x rho(x, y) , dA = integral0^1 ( x2 - x^32 ) dx = 12 integral0^1 (x - x^3) , dx de 0 a 1:
= 12 ( x^22 - x^44 gr|0^1 ) = 12 ( 12 - 14 ) = 12 cdot 14 = 18
Calculando a integral:
Então, .

Passo 7

Agora, vamos calcular barx = 1M integral duplaR x rho(x, y) , dA = 113 cdot 18 = 3 cdot 18 = 38 :

Passo 8

Vamos repetir o processo para integral duplaR y (x + y) , dA = integral0^1 integral0^1 - x y(x + y) , dy , dx . Primeiro, calculamos y(x + y) = xy + y^2 :
integral0^1 - x (xy + y^2) , dy = x y^22 + y^33 gr|0^1 - x
Multiplicando = x (1 - x)^22 + (1 - x)^33 pela densidade:
Integramos em :
Substituindo os limites:

Passo 9

Simplificando a expressão:
= x (1 - 2x + x^2)2 + (1 - 3x + 3x^2 - x^3)3
= x - 2x^2 + x^32 + 1 - 3x + 3x^2 - x^33
Para somar as frações, vamos achar o denominador comum, que é 6:
= 3x - 6x^2 + 3x^36 + 2 - 6x + 6x^2 - 2x^36 = 3x - 6x^2 + 3x^3 + 2 - 6x + 6x^2 - 2x^36
Simplificando:
= 2 - 3x + x^36

Passo 10

Agora, integramos em integral duplaR y rho(x, y) , dA = integral0^1 2 - 3x + x^36 , dx = 16 integral0^1 (2 - 3x + x^3) , dx de 0 a 1:
= 16 ( 2x - 3x^22 + x^44 gr|0^1 ) = 16 ( 2 - 32 + 14 ) = 16 ( 84 - 64 + 14 ) = 16 cdot 34 = 18
Calculando a integral:
Então, .

Passo 11

Finalmente, calculamos bary = 1M integral duplaR y rho(x, y) , dA = 113 cdot 18 = 3 cdot 18 = 38 :

Resposta

As coordenadas do centro de massa da lâmina são .

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