Este é um sistema linear de coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar combinações lineares (soma e diferenças) para desacoplar as equações e obter EDOs simples.
Passo 2
Definimos a soma das três variáveis
S(t)=x(t)+y(t)+z(t)
Somando as três equações originais, vem
dSdt=dxdt+dydt+dzdt=(y+z)+(x+z)+(x+y)=2(x+y+z)=2S
Passo 3
Temos então a EDO
dSdt=2S
que tem solução geral
S(t)=C,e^2t,
onde C é constante de integração.
Passo 4
Agora definimos duas diferenças para desacoplar ainda mais:
u(t)=x(t)-y(t), v(t)=x(t)-z(t)
Subtraindo as equações relevantes, obtemos
dudt=dxdt-dydt=(y+z)-(x+z)=y-x=-u,
dvdt=dxdt-dzdt=(y+z)-(x+y)=z-x=-v
Passo 5
As EDOs ficam
dudt=-u, dvdt=-v
com soluções
u(t)=A,e^-t, v(t)=B,e^-t,
onde A e B são constantes.
Passo 6
Agora expressamos x,y,z em função de S,u,v. Da definição de u e v: