Integrar os sistemas de equações diferenciais
l d xd t=y+z d yd t=x+z d zd t=x+y

Passo 1

O sistema dado é
dfracdxdt=y+z dfracdydt=x+z dfracdzdt=x+y
Este é um sistema linear de coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar combinações lineares (soma e diferenças) para desacoplar as equações e obter EDOs simples.

Passo 2

Definimos a soma das três variáveis
S(t)=x(t)+y(t)+z(t)
Somando as três equações originais, vem
dSdt=dxdt+dydt+dzdt=(y+z)+(x+z)+(x+y)=2(x+y+z)=2S

Passo 3

Temos então a EDO
dSdt=2S
que tem solução geral
S(t)=C,e^2t,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Agora definimos duas diferenças para desacoplar ainda mais:
u(t)=x(t)-y(t), v(t)=x(t)-z(t)
Subtraindo as equações relevantes, obtemos
dudt=dxdt-dydt=(y+z)-(x+z)=y-x=-u,
dvdt=dxdt-dzdt=(y+z)-(x+y)=z-x=-v

Passo 5

As EDOs ficam
dudt=-u, dvdt=-v
com soluções
u(t)=A,e^-t, v(t)=B,e^-t,
onde A e B são constantes.

Passo 6

Agora expressamos x,y,z em função de S,u,v. Da definição de u e v:
y=x-u, z=x-v
E da soma S=x+y+z:
x+(x-u)+(x-v)=SLongrightarrow3x-(u+v)=SLongrightarrow x=S+u+v3
Logo
y=S+u+v3-u, z=S+u+v3-v

Passo 7

Substituindo S(t)=C e^2t, u(t)=A e^-t e v(t)=B e^-t, obtemos
x(t)=C e^2t+A e^-t+B e^-t3,
y(t)=C e^2t+A e^-t+B e^-t3-A e^-t,
z(t)=C e^2t+A e^-t+B e^-t3-B e^-t

Resposta

x(t)=C e^2t+(A+B)e^-t3, y(t)=C e^2t+(B-2A)e^-t3, z(t)=C e^2t+(A-2B)e^-t3,
onde A,B,C são constantes de integração arbitrárias.

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