Questão 20. Qual é o trabalho necessário (em keV) ( 1 \mathrm{eV}=1,60 \times 10^{-19} \mathrm{~J}) para acelerar um elétron de 0,18 c até 0,19 c

Passo 1

O enunciado pede o trabalho necessário para acelerar um elétron de 0,18c até 0,19c. O conteúdo envolvido é energia cinética relativística, que se calcula com o fator de Lorentz \gamma e a relação
K = (\gamma - 1)\,m\,c^2.

Passo 2

Para usar essa fórmula, precisamos do valor de m\,c^2 para o elétron. Como
m = 9{,}11\times 10^{-31}\,\mathrm{kg}, \quad c = 3{,}00\times 10^8\,\mathrm{m/s},
temos
m\,c^2 = (9{,}11\times 10^{-31})(3{,}00\times 10^8)^2 \approx 8{,}19\times 10^{-14}\,\mathrm{J},
que corresponde a
m\,c^2 \approx 511\,\mathrm{keV}.

Passo 3

O fator de Lorentz é
\gamma(v)=\frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}.
Para v_1=0,18c e v_2=0,19c calculamos
\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,18)^2}} \approx 1{,}0166, \qquad \gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,19)^2}} \approx 1{,}0185.

Passo 4

As energias cinéticas são
K_1 = (\gamma_1 - 1)\,m\,c^2 \approx (1{,}0166 - 1)\times 511\,\mathrm{keV} \approx 8{,}48\,\mathrm{keV},
K_2 = (\gamma_2 - 1)\,m\,c^2 \approx (1{,}0185 - 1)\times 511\,\mathrm{keV} \approx 9{,}44\,\mathrm{keV}.
Logo, o trabalho necessário é
\Delta W = K_2 - K_1 \approx 9{,}44\,\mathrm{keV} - 8{,}48\,\mathrm{keV} \approx 0{,}96\,\mathrm{keV}.

Resposta

O trabalho necessário é aproximadamente \,0,96\,\mathrm{keV}.

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