Integre f(s, t)=c^{\prime} \ln t sobre a região no primeiro quadrante do plano st que está acima da curva s=\ln t de t=1 a t=2.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral dupla de
sobre a região
no primeiro quadrante delimitada pela curva
, pelas retas verticais
e
e pelo eixo
.
Logo, queremos
Logo, queremos
Passo 2
Para descrever
em coordenadas iteradas, percebemos que para cada
o valor de
vai de
até
. Portanto
Como
não depende de
, ele sai da integral em
.
Passo 3
Calculemos a integral interna:
Assim a integral passa a ser
Passo 4
Para
usamos integração por partes. Seja
Então
Aplicando nova partes em
(com
,
) resulta
logo
Passo 5
Voltando à integral de
a
:
Em
fica
e em
temos
Subtraindo:
Multiplicando pelo fator
, a integral desejada é