Integre f(s, t)=c^{\prime} \ln t sobre a região no primeiro quadrante do plano st que está acima da curva s=\ln t de t=1 a t=2.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla de
f(s,t)=c'ln t
sobre a região R no primeiro quadrante delimitada pela curva s=ln t, pelas retas verticais t=1 e t=2 e pelo eixo s=0.
Logo, queremos
integral duplaRc'ln t;ds,dt

Passo 2

Para descrever R em coordenadas iteradas, percebemos que para cada tin[1,2] o valor de s vai de s=0 até s=ln t. Portanto
integral duplaRc'ln t;ds,dt =integralt=1^2l[integrals=0^ln tc'ln t;dsr]dt
Como ln t não depende de s, ele sai da integral em s.

Passo 3

Calculemos a integral interna:
integrals=0^ln tc'ln t;ds =c'ln t;l[sr]0^ln t =c'ln t;l(ln t-0r) =c',(ln t)^2
Assim a integral passa a ser
integral1^2c',(ln t)^2,dt

Passo 4

Para integral(ln t)^2dt usamos integração por partes. Seja
u=(ln t)^2, dv=dt, du=2ln ttdt, v=t
Então
integral(ln t)^2dt =t(ln t)^2 -integral tcdot2ln tt,dt =t(ln t)^2-2integralln t,dt
Aplicando nova partes em integralln t,dt (com u=ln t, dv=dt) resulta
integralln t,dt =tln t-t,
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integral(ln t)^2dt =t(ln t)^2-2l(tln t-tr) =tl((ln t)^2-2ln t+2r)

Passo 5

Voltando à integral de 1 a 2:
integral1^2(ln t)^2dt =l[tl((ln t)^2-2ln t+2r)r]1^2
Em t=2 fica
2l((ln2)^2-2ln2+2r),
e em t=1 temos
1l(0-0+2r)=2
Subtraindo:
2l((ln2)^2-2ln2+2r)-2 =2(ln2)^2-4ln2+4-2 =2(ln2)^2-4ln2+2
Multiplicando pelo fator c', a integral desejada é
c'l(2(ln2)^2-4ln2+2r) =2c'l(ln2-1r)^2

Resposta

integral duplaRc'ln t;ds,dt =2c'l(ln2-1r)^2

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