Integre:
\int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-a^{2}}}(a>0)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - a^2}},\quad a>0.
Este é um caso clássico de substituição trigonométrica, pois aparece \sqrt{x^2 - a^2}. Vamos usar a substituição x = a\operatorname{sec}\theta.

Passo 2

Fazendo x = a\operatorname{sec}\theta, temos
dx = a\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta,
e
\sqrt{x^2 - a^2} = \sqrt{a^2\operatorname{sec}^2\theta - a^2} = a\sqrt{\operatorname{sec}^2\theta - 1} = a\tan\theta.

Passo 3

Substituindo na integral:
\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - a^2}} = \int \frac{a\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta}{\bigl(a\operatorname{sec}\theta\bigr)\bigl(a\tan\theta\bigr)} = \int \frac{a\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{a^2\operatorname{sec}\theta\tan\theta}\,d\theta = \int \frac{1}{a}\,d\theta = \frac{\theta}{a} + C.

Passo 4

Só falta voltar à variável x. De x = a\operatorname{sec}\theta segue
\operatorname{sec}\theta = \frac{x}{a} \quad\Longrightarrow\quad \theta = \arcsec\!\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr).
Como alternativa, num triângulo retângulo vemos \cos\theta = a/x, logo \theta = \operatorname{arccos}(a/x).

Resposta

\frac{1}{a}\,\operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{a}{x}\Bigr) + C.

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