Resolva as integrais:
\int 3 x^{2} \sqrt{x^{3}+2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 3x^{2}\sqrt{x^{3}+2}\,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois dentro da raiz aparece a função x^{3}+2 cuja derivada também está no integrando.

Passo 2

Definimos a substituição
u = x^{3} + 2.
Derivando ambos os lados em relação a x, temos
du = 3x^{2}\,dx.
Isso mostra que o trecho 3x^{2}\,dx se transforma exatamente em du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int 3x^{2}\sqrt{x^{3}+2}\,dx = \int \sqrt{u}\,du.

Passo 4

Repare que \sqrt{u} = u^{1/2}. Aplicando a regra de potência para integrais,
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}\,u^{3/2} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = x^{3} + 2 na expressão acima, ficando
\frac{2}{3}(x^{3}+2)^{3/2} + C.

Resposta

\frac{2}{3}\bigl(x^{3}+2\bigr)^{3/2} + C

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