Integre
\int-3 x \operatorname{cossec}^{2}(2 x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int -3x\,\csc^2\bigl(2x+1\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é uso de substituição simples e integração por partes, já que há um produto que mistura x e uma função de 2x+1.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2x + 1 \quad\Longrightarrow\quad du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \tfrac{1}{2}\,du,
e também escrevemos x em função de u:
x = \frac{u - 1}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int -3x\,\csc^2\bigl(2x+1\bigr)\,dx = \int -3\cdot\frac{u-1}{2}\;\csc^2(u)\;\frac{1}{2}\,du = -\frac{3}{4}\,\int (u-1)\,\csc^2(u)\,du.

Passo 4

Para integrar \displaystyle \int (u-1)\,\csc^2(u)\,du, separamos em
\int (u-1)\,\csc^2(u)\,du = \int u\,\csc^2(u)\,du \;-\; \int \csc^2(u)\,du.
Primeiro, calculemos
\int u\,\csc^2(u)\,du
por partes. Seja
p = u,\quad dq = \csc^2(u)\,du \quad\Longrightarrow\quad dp = du,\quad q = -\cot(u).
Logo,
\int u\,\csc^2(u)\,du = p\,q - \int q\,dp = -u\,\cot(u) - \int \bigl(-\cot(u)\bigr)\,du = -u\,\cot(u) + \int \cot(u)\,du.
E sabemos que
\int \cot(u)\,du = \ln\bigl|\sin(u)\bigr|.
Portanto
\int u\,\csc^2(u)\,du = -u\,\cot(u) + \ln\bigl|\sin(u)\bigr|.

Passo 5

Agora faltou
\int \csc^2(u)\,du = -\cot(u).
Assim,
\int (u-1)\,\csc^2(u)\,du = \bigl[-u\,\cot(u) + \ln\bigl|\sin(u)\bigr|\bigr] \;-\; \bigl[-\cot(u)\bigr] = -u\,\cot(u) + \cot(u) + \ln\bigl|\sin(u)\bigr| = -(u-1)\,\cot(u) + \ln\bigl|\sin(u)\bigr|.

Passo 6

Retornando ao fator -\tfrac{3}{4}:
-\frac{3}{4}\,\int (u-1)\,\csc^2(u)\,du = -\frac{3}{4}\,\Bigl[-(u-1)\,\cot(u) + \ln\bigl|\sin(u)\bigr|\Bigr] = \frac{3}{4}\,(u-1)\,\cot(u) \;-\;\frac{3}{4}\,\ln\bigl|\sin(u)\bigr| + C.
Finalmente, voltamos a u = 2x+1:
(u-1) = 2x, \quad \cot(u) = \cot\bigl(2x+1\bigr), \quad \sin(u) = \sin\bigl(2x+1\bigr).
Logo o resultado é
\frac{3}{4}\cdot 2x\;\cot\bigl(2x+1\bigr) \;-\;\frac{3}{4}\,\ln\bigl|\sin\bigl(2x+1\bigr)\bigr| + C = \frac{3}{2}\,x\,\cot\bigl(2x+1\bigr) \;-\;\frac{3}{4}\,\ln\bigl|\sin\bigl(2x+1\bigr)\bigr| + C.

Resposta

\frac{3}{2}\,x\,\cot\bigl(2x+1\bigr) \;-\;\tfrac{3}{4}\,\ln\bigl|\sin\bigl(2x+1\bigr)\bigr| + C.

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