Integre
\int\left(\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-\frac{5 x}{x^{2}+1}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\Bigl(\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-\frac{5x}{x^{2}+1}\Bigr)\,dx.
O conteúdo usado será a regra do poder para integrais da forma \int x^{n}dx e a substituição simples para obter logaritmos no caso de \int x/(x^{2}+1)\,dx.

Passo 2

Primeiro, separamos a integral em três partes:
\int\frac{6}{x^{2}}\,dx + \int\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx - \int\frac{5x}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 3

Para a primeira parte usamos a regra do poder com n=-2:
\int 6x^{-2}\,dx =6\int x^{-2}\,dx =6\cdot\frac{x^{-1}}{-1} =-6x^{-1} =-\frac{6}{x}.

Passo 4

Na segunda parte temos x^{-1/3}, aplicamos a regra do poder com n=-\tfrac13:
\int x^{-1/3}\,dx =\frac{x^{-1/3+1}}{-1/3+1} =\frac{x^{2/3}}{2/3} =\frac{3}{2}x^{2/3}.

Passo 5

Na terceira parte usamos a substituição
\displaystyle u=x^{2}+1, logo \,du=2x\,dx, e
\int\frac{5x}{x^{2}+1}\,dx =5\int\frac{x}{u}\,\frac{du}{2x} =\frac{5}{2}\int\frac{du}{u} =\frac{5}{2}\ln\bigl|u\bigr| =\frac{5}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).
Como o sinal na integral original era negativo, ficamos com
-\int\frac{5x}{x^{2}+1}\,dx =-\frac{5}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).

Passo 6

Somando os três resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
-\frac{6}{x} +\frac{3}{2}x^{2/3} -\frac{5}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) +C.

Resposta

-\frac{6}{x}+\frac{3}{2}x^{2/3}-\frac{5}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C.

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