Integre \int\left(\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-\frac{5 x}{x^{2}+1}\right) d x Passo 1O enunciado pede para calcular a integral \int\Bigl(\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-\frac{5x}{x^{2}+1}\Bigr)\,dx. O conteúdo usado será a regra do poder para integrais da forma \int x^{n}dx e a substituição simples para obter logaritmos no caso de \int x/(x^{2}+1)\,dx. Passo 2Primeiro, separamos a integral em três partes: \int\frac{6}{x^{2}}\,dx + \int\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx - \int\frac{5x}{x^{2}+1}\,dx. Passo 3Para a primeira parte usamos a regra do poder com n=-2: \int 6x^{-2}\,dx =6\int x^{-2}\,dx =6\cdot\frac{x^{-1}}{-1} =-6x^{-1} =-\frac{6}{x}. Passo 4Na segunda parte temos x^{-1/3}, aplicamos a regra do poder com n=-\tfrac13: \int x^{-1/3}\,dx =\frac{x^{-1/3+1}}{-1/3+1} =\frac{x^{2/3}}{2/3} =\frac{3}{2}x^{2/3}. Passo 5Na terceira parte usamos a substituição \displaystyle u=x^{2}+1, logo \,du=2x\,dx, e \int\frac{5x}{x^{2}+1}\,dx =5\int\frac{x}{u}\,\frac{du}{2x} =\frac{5}{2}\int\frac{du}{u} =\frac{5}{2}\ln\bigl|u\bigr| =\frac{5}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr). Como o sinal na integral original era negativo, ficamos com -\int\frac{5x}{x^{2}+1}\,dx =-\frac{5}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr). Passo 6Somando os três resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos -\frac{6}{x} +\frac{3}{2}x^{2/3} -\frac{5}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) +C. Resposta -\frac{6}{x}+\frac{3}{2}x^{2/3}-\frac{5}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados(3 pontos) Considere o sistema de equações diferenciais ordinárias \left\{\begin{array}{l} x^{\prime}(t)=3 x+2 y+4 z \\\ y^{\prime}(t)=2 x+2 z \\\ z^{\prime}(t)=4 x+2 y+3 z \end{array}\right. (a) Aplique o método dos autovalores e autovetores para encontrar a solução geral do sistema. (b) Dê dois exemplos de soluções (x(t), y(t), z(t)) do sistema (escreva separadamente as funções x(t), y(t) e z(t) de cada solução). (2 pontos) Resolva a EDO y^{\prime \prime}+y=1 com condições iniciais y(0)=1 e y^{\prime}(0)=6 usando o método da transformada de Laplace. Integre \int \operatorname{sen} x e^{(1+\cos x)} d x Integre \int-3 x \operatorname{cossec}^{2}(2 x+1) d x