(3 pontos) Considere o sistema de equações diferenciais ordinárias
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}(t)=3 x+2 y+4 z \\\ y^{\prime}(t)=2 x+2 z \\\ z^{\prime}(t)=4 x+2 y+3 z \end{array}\right.
(a) Aplique o método dos autovalores e autovetores para encontrar a solução geral do sistema.
(b) Dê dois exemplos de soluções (x(t), y(t), z(t)) do sistema (escreva separadamente as funções x(t), y(t) e z(t) de cada solução).
O conteúdo é diagonalização de A: vamos achar autovalores \lambda e autovetores \mathbf{v}, e montar a solução geral \mathbf{x}(t)=\sum C_i\,e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i.
A equação única independente é 2x+y+2z=0, logo y=-2x-2z. Podemos escolher dois vetores livres, por exemplo \mathbf{v}_2=(1,-2,0) e \mathbf{v}_3=(0,-2,1).
Passo 5
A solução geral é combinação linear das três soluções fundamentais