Represente graficamente o domínio da função
dada por:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para “representar graficamente o domínio” dessa função.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é dada por
. - A pergunta é sobre o domínio da função (ou seja, o conjunto de pares
para os quais a função está definida) e pede representação gráfica desse domínio.
Passo 2
O que é “domínio” de uma função de duas variáveis? Vou explicar devagar: o domínio é o conjunto de todos os pares
que você pode colocar na função sem dar problema (como divisão por zero, raiz de número negativo quando só aceitamos raízes reais, logaritmo de número não positivo, etc.).
No nosso caso a expressão é simplesmente . Isso é uma operação de soma/subtração entre números reais: para qualquer
o valor
é bem definido e é um número real. Não há denominador, raiz, logaritmo ou outra operação que imponha restrição. Portanto não existe nenhum
proibido.
No nosso caso a expressão é simplesmente
Passo 3
Concluímos então que o domínio é todo o plano
. Em linguagem matemática:
Vou dar um exemplo concreto para fixar: escolha
. A função dá
, sem problema. Escolha
. A função dá
, também sem problema. Isso ilustra que qualquer par real vale.
Passo 4
Como representar graficamente esse domínio? O domínio está no plano
. Graficamente, representamos o domínio como "todo o plano
" — isto é, sombreie/considere toda a folha de papel com os eixos
e
. Em um desenho: desenhe duas retas perpendiculares marcando os eixos
e
e indique que todos os pontos desse plano pertencem ao domínio (p. ex. uma malha quadriculada cobrindo toda a região).
Passo 5
Observação extra (útil na prova): às vezes pedem também o gráfico da função (a superfície em
). O gráfico da função é o conjunto de pontos
que satisfazem
. Escrevendo em forma de plano:
portanto o gráfico é um plano que passa pela origem. Dois vetores diretores desse plano são, por exemplo,
(varia
, mantém
) e
(varia
, mantém
). Para esboçar esse plano no quadro: marque os pontos
,
,
(porque
) e una formando um paralelogramo; estenda para mostrar o plano infinito.
Passo 6
Resumo prático para desenhar na prova (passo a passo de desenho):
- Se pedirem só o domínio: desenhe o plano
e indique que todo o plano é domínio (sombreie ou escreva ). - Se pedirem também o gráfico/superfície: desenhe os eixos
, marque os pontos de referência como , , e ligue-os formando um paralelogramo, depois estenda para representar o plano . Mostre as linhas de interseção com os planos coordenados: em a interseção é a reta no plano ; em é a reta no plano .
Resposta
Gráfico da função: plano