Sejam a, b, c, d in Z. Prove que se a<b e c <= d, então a+c<b+d.

Passo 1

Enunciado: Temos inteiros a,b,c,d tais que a<b e c<= d. Queremos mostrar que a+c<b+d. O conteúdo aqui é propriedades de desigualdidades em Z, e vamos usar que somar o mesmo inteiro a uma desigualdade preserva o tipo de desigualdade.

Passo 2

Pela propriedade de monotonicidade da soma em Z, se a<b então, somando c a ambos os lados, obtemos:

Passo 3

a+c<b+c

Passo 4

De modo análogo, como c<= d, somando b a ambos os lados resulta em:

Passo 5

b+c<= b+d

Passo 6

Agora combinamos as duas desigualdades. Temos a+c<b+c e b+c<= b+d. Pela transitividade entre < e <=, concluímos que:

Passo 7

a+c<b+d

Resposta

a+c<b+d

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