Sejam
. Prove que se
, então
.
Passo 1
Enunciado: Temos inteiros
tais que
e
. Queremos mostrar que
. O conteúdo aqui é propriedades de desigualdidades em
, e vamos usar que somar o mesmo inteiro a uma desigualdade preserva o tipo de desigualdade.
Passo 2
Pela propriedade de monotonicidade da soma em
, se
então, somando
a ambos os lados, obtemos:
Passo 3
Passo 4
De modo análogo, como
, somando
a ambos os lados resulta em:
Passo 5
Passo 6
Agora combinamos as duas desigualdades. Temos
e
. Pela transitividade entre
e
, concluímos que: