Resolva as integrais abaixo.
integral raiz1-x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral raiz1 - x^2,dx
Para resolver, vamos usar substituição trigonométrica, pois temos uma raiz quadrada da forma raiz1 - x^2. Em particular, usaremos a substituição
x = sintheta,
que transforma raiz1 - x^2 em costheta.

Passo 2

Fazendo a substituição x = sintheta, temos
dx = costheta,dtheta e raiz1 - x^2 = raiz1 - sin^2theta = costheta
Assim, a integral fica
integral raiz1 - x^2,dx = integral costheta ;l(costheta,dthetar) = integral cos^2theta,dtheta

Passo 3

Para integrar integral cos^2theta,dtheta, usamos a identidade do ângulo duplo:
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
Logo,
integral cos^2theta,dtheta = integral 1 + cos(2theta)2,dtheta = 12integral dtheta + 12integral cos(2theta),dtheta

Passo 4

Calculando as duas integrais separadamente:
12integral dtheta = theta2,
12integral cos(2theta),dtheta = 12cdotsin(2theta)2 = sin(2theta)4
Portanto,
integral cos^2theta,dtheta = theta2 + sin(2theta)4 + C

Passo 5

Agora voltamos à variável x. Sabemos que theta = arcsin(x) e
sin(2theta) = 2sinthetacostheta = 2,x,raiz1 - x^2
Substituindo em
theta2 + sin(2theta)4, obtemos
arcsin(x)2 + 14l(2,x,raiz1 - x^2r) = arcsin(x)2 + x2,raiz1 - x^2 + C

Resposta

integral raiz1 - x^2,dx = x2,raiz1 - x^2 + 12,arcsin(x) + C

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