Resolva as integrais abaixo.
integral raiz1+x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral integral raiz1+x^2,dx. Este tipo de integral é clássico e costuma ser resolvido por substituição hiperbólica, usando a identidade cosh^2(t)-sinh^2(t)=1. Vamos definir x=sinh(t) para simplificar a raiz.

Passo 2

Com x=sinh(t) temos
dx = cosh(t),dt,
e
raiz1+x^2 = raiz1+sinh^2(t) = cosh(t)
Assim a integral vira
integral raiz1+x^2,dx = integral cosh(t)cosh(t),dt = integral cosh^2(t),dt

Passo 3

Para integrar cosh^2(t), usamos a identidade de duplicação:
cosh^2(t) = 1+cosh(2t)2
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integral cosh^2(t),dt = 12integral 1,dt + 12integral cosh(2t),dt = t2 + 14sinh(2t) + C

Passo 4

Voltando para x, temos
t = arsinh(x) = lnl(x+raiz1+x^2r), sinh(2t) = 2sinh(t)cosh(t) = 2xraiz1+x^2
Substituindo em
t2 + 14sinh(2t) + C
obtemos
12lnl(x+raiz1+x^2r) + 12xraiz1+x^2 + C

Resposta

integral raiz1+x^2,dx = x2raiz1+x^2 + 12lnl(x+raiz1+x^2r) + C

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