Resolva as integrais abaixo.
integral raizx^2-1 d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral raizx^2-1,dx
O conteúdo aqui é técnica de substituição hiperbolica (ou trigonométrica). Vamos usar a substituição hiperbolica x=cosh u, pois cosh^2u-1=sinh^2u.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = cosh u,
temos
dx = sinh u,du
e
raizx^2-1 = raizcosh^2u - 1 = sinh u

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral raizx^2-1,dx = integral sinh u cdot (sinh u,du) = integral sinh^2u,du

Passo 4

Usamos a identidade hiperbolica
sinh^2u = cosh(2u)-12,
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integral sinh^2u,du = integral cosh(2u)-12,du = 12integral cosh(2u),du - 12integral du

Passo 5

Calculamos cada termo:
integral cosh(2u),du = 12sinh(2u), integral du = u
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integral sinh^2u,du = 12cdot12sinh(2u) - 12u + C = 14sinh(2u) - 12u + C

Passo 6

Voltando à variável x:
sinh(2u) = 2sinh ucosh u = 2l(raizx^2-1r),x,
e
u = arcosh(x) = lnl(x + raizx^2-1r)
Substituindo esses resultados:
14sinh(2u) - 12u = 14cdot 2xraizx^2-1 - 12lnl(x+raizx^2-1r) = x2raizx^2-1 - 12lnl(x+raizx^2-1r)

Resposta

integral raizx^2-1,dx = x2raizx^2-1 - tfrac12lnl|x+raizx^2-1r| + C

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