Se
é inteiro,
e
são números reais, então
(a) Seja
um número natural e
tal que
. Demonstre por indução que
(b) Mostre que se
, então
(c) Calcule
Passo 1
O enunciado pede que mostremos, por indução em
, a identidade
usando a fórmula do ângulo duplo
Passo 2
Base
. Nesse caso o produto tem só um fator:
Pela fórmula do ângulo duplo com , temos
Pela fórmula do ângulo duplo com
Isto mostra que a fórmula vale para
.
Passo 3
Passo indutivo. Suponha que para um certo
valha
Então para
o produto é
Agora use a fórmula do ângulo duplo com
:
Substituindo de volta,
Logo a fórmula vale para
, fechando a indução.
Passo 4
Para a parte (b), tome
Então
e portanto
Da fórmula do Passo 1 obtemos
Passo 5
Para a parte (c) basta notar que
corresponde ao caso
e
. Pelo resultado do Passo 1 com
: