Se n é inteiro, n \geqslant 2 e a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} são números reais, então
\left|a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right| \leqslant\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\cdots+\left|a_{n}\right| .
(a) Seja n um número natural e \theta tal que \operatorname{sen} \theta \neq 0. Demonstre por indução que
(\cos \theta)(\cos 2 \theta)(\cos 4 \theta)(\cos 8 \theta) \ldots\left(\cos \left(2^{n-1} \theta\right)\right)=\frac{\operatorname{sen}\left(2^{n} \theta\right)}{2^{n} \operatorname{sen} \theta} .
(b) Mostre que se \theta=\frac{180^{\circ}}{2^{n}+1}, então
(\cos \theta)(\cos 2 \theta)(\cos 4 \theta)(\cos 8 \theta) \ldots\left(\cos \left(2^{n-1} \theta\right)\right)=\frac{1}{2^{n}} .
(c) Calcule
\cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 80^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede que mostremos, por indução em n, a identidade
(\cos \theta)(\cos 2 \theta)(\cos 4 \theta)\cdots\bigl(\cos(2^{n-1}\theta)\bigr) =\frac{\operatorname{sen}(2^{n}\theta)}{2^{n}\,\operatorname{sen}\theta},
usando a fórmula do ângulo duplo
\operatorname{sen}(2\alpha)=2\,\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha.

Passo 2

Base n=1. Nesse caso o produto tem só um fator: \cos\theta.
Pela fórmula do ângulo duplo com \alpha=\theta, temos
\operatorname{sen}(2\theta)=2\,\operatorname{sen}\theta\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta =\frac{\operatorname{sen}(2\theta)}{2\,\operatorname{sen}\theta}.
Isto mostra que a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que para um certo k\ge1 valha
(\cos \theta)\cdots\bigl(\cos(2^{k-1}\theta)\bigr) =\frac{\operatorname{sen}(2^{k}\theta)}{2^{k}\,\operatorname{sen}\theta}.
Então para n=k+1 o produto é
(\cos \theta)\cdots\bigl(\cos(2^{k-1}\theta)\bigr)\,\cos(2^{k}\theta) =\frac{\operatorname{sen}(2^{k}\theta)}{2^{k}\,\operatorname{sen}\theta}\,\cos(2^{k}\theta).
Agora use a fórmula do ângulo duplo com \alpha=2^k\theta:
\operatorname{sen}\bigl(2\cdot 2^{k}\theta\bigr) =2\,\operatorname{sen}(2^{k}\theta)\cos(2^{k}\theta) \;\Longrightarrow\; \operatorname{sen}(2^{k}\theta)\cos(2^{k}\theta) =\frac{\operatorname{sen}(2^{k+1}\theta)}{2}.
Substituindo de volta,
\frac{\operatorname{sen}(2^{k}\theta)}{2^{k}\,\operatorname{sen}\theta}\,\cos(2^{k}\theta) =\frac{1}{2^{k}\,\operatorname{sen}\theta}\,\frac{\operatorname{sen}(2^{k+1}\theta)}{2} =\frac{\operatorname{sen}(2^{k+1}\theta)}{2^{k+1}\,\operatorname{sen}\theta}.
Logo a fórmula vale para k+1, fechando a indução.

Passo 4

Para a parte (b), tome
\theta=\frac{180^{\circ}}{2^{n}+1}.
Então
2^{n}\theta =2^{n}\,\frac{180^{\circ}}{2^{n}+1} =180^{\circ}-\frac{180^{\circ}}{2^{n}+1} =180^{\circ}-\theta,
e portanto
\operatorname{sen}(2^{n}\theta) =\operatorname{sen}\bigl(180^{\circ}-\theta\bigr) =\operatorname{sen}\theta.
Da fórmula do Passo 1 obtemos
(\cos \theta)\cdots\bigl(\cos(2^{n-1}\theta)\bigr) =\frac{\operatorname{sen}(2^{n}\theta)}{2^{n}\,\operatorname{sen}\theta} =\frac{\operatorname{sen}\theta}{2^{n}\,\operatorname{sen}\theta} =\frac{1}{2^{n}}.

Passo 5

Para a parte (c) basta notar que \cos20^{\circ}\cos40^{\circ}\cos80^{\circ} corresponde ao caso n=3 e \theta=20^{\circ}. Pelo resultado do Passo 1 com n=3:
\cos20^{\circ}\cos40^{\circ}\cos80^{\circ} =\frac{\operatorname{sen}(2^{3}\cdot20^{\circ})}{2^{3}\,\sen20^{\circ}} =\frac{\sen160^{\circ}}{8\,\sen20^{\circ}} =\frac{\sen20^{\circ}}{8\,\sen20^{\circ}} =\frac{1}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{8}

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