Seja
um número inteiro. Mostre que o número
é divisível por
.
Passo 1
O enunciado é: “Para todo inteiro
, provar que
divide
.”
O conteúdo que vamos usar é indução em e fatoração de soma de cubos.
O conteúdo que vamos usar é indução em
Passo 2
Base da indução
:
logo
. A propriedade vale para
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que, para algum
, exista inteiro
tal que
Queremos mostrar que então
Passo 4
Escrevemos
Pelo passo indutivo, o fator
contém
. Resta ver que
também é múltiplo de 3. Como
temos
. Então
portanto
.
Passo 5
Assim
é produto de um múltiplo de
pelo múltiplo de 3 dado por
. Logo
Isso completa a indução, provando a afirmação para todo
.
Resposta
Para todo inteiro
vale