Seja n \geqslant 0 um número inteiro. Mostre que o número 2^{3^{n}}+1 é divisível por 3^{\mathrm{n}+1}.

Passo 1

O enunciado é: “Para todo inteiro n\ge0, provar que 3^{n+1} divide 2^{3^n}+1.”
O conteúdo que vamos usar é indução em n e fatoração de soma de cubos.

Passo 2

Base da indução n=0:
2^{3^0}+1 = 2^1+1 = 3 = 3^1,
logo 3^1\mid3. A propriedade vale para n=0.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que, para algum n\ge0, exista inteiro k tal que
2^{3^n}+1 = k\,3^{\,n+1}.
Queremos mostrar que então
3^{(n+1)+1}\mid \bigl(2^{3^{n+1}}+1\bigr).

Passo 4

Escrevemos
2^{3^{n+1}}+1 = \bigl(2^{3^n}\bigr)^3 + 1^3 = \bigl(2^{3^n}+1\bigr)\,\bigl(2^{2\cdot3^n} - 2^{3^n} +1\bigr).
Pelo passo indutivo, o fator 2^{3^n}+1 contém 3^{n+1}. Resta ver que
B = 2^{2\cdot3^n} - 2^{3^n} +1
também é múltiplo de 3. Como 3\mid(2^{3^n}+1) temos 2^{3^n}\equiv -1\pmod3. Então
B \equiv (-1)^2 -(-1) +1 = 1 +1 +1 = 3 \equiv 0\pmod3,
portanto 3\mid B.

Passo 5

Assim 2^{3^{n+1}}+1 é produto de um múltiplo de 3^{n+1} pelo múltiplo de 3 dado por B. Logo
3^{n+1}\cdot 3 = 3^{n+2}\mid \bigl(2^{3^{n+1}}+1\bigr).
Isso completa a indução, provando a afirmação para todo n\ge0.

Resposta

Para todo inteiro n\ge0 vale
3^{n+1}\mid\bigl(2^{3^n}+1\bigr).

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