Mostre que
. Usando esta última identidade, determine o resto da divisão dos seguintes números por 101:
(c)
.
(c)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
e, usando isso, calcular o resto da soma
quando dividida por
. O conteúdo aqui é aritmética modular e soma de progressão geométrica com sinais alternados.
Passo 2
Para provar
note que
Elevando ambos os lados à
-ésima potência, obtemos
isto é,
Passo 3
Chamemos de
É conveniente separar os termos de índice par e os de índice ímpar:
Passo 4
Pela identidade já provada,
Logo
Passo 5
A soma alternada
vale
se
é par e
se
é ímpar. Aqui
é par e
é ímpar, então
Portanto
Resposta
O resto da divisão de
por
é
.