Mostre que 10^2 k equiv(-1)^k(bmod 101). Usando esta última identidade, determine o resto da divisão dos seguintes números por 101:
(c) 1+10^1+10^2+cdots+10^2020.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que ;10^2kequiv(-1)^kpmod101 e, usando isso, calcular o resto da soma
1 + 10^1 + 10^2 + cdots + 10^2020
quando dividida por 101. O conteúdo aqui é aritmética modular e soma de progressão geométrica com sinais alternados.

Passo 2

Para provar ;10^2kequiv(-1)^kpmod101 note que
10^2 = 100 equiv -1 pmod101
Elevando ambos os lados à k-ésima potência, obtemos
(10^2)^k equiv (-1)^k pmod101,
isto é,
10^2kequiv(-1)^kpmod101

Passo 3

Chamemos de
S = 1 + 10^1 + 10^2 + cdots + 10^2020
É conveniente separar os termos de índice par e os de índice ímpar:
S = summ=0^1010 10^2m ;+;summ=0^1009 10^2m+1

Passo 4

Pela identidade já provada,
10^2mequiv(-1)^mpmod101, 10^2m+1=10cdot10^2mequiv10cdot(-1)^mpmod101
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Sequiv summ=0^1010(-1)^m ;+;10summ=0^1009(-1)^m pmod101

Passo 5

A soma alternada
summ=0^N(-1)^m
vale 1 se N é par e 0 se N é ímpar. Aqui 1010 é par e 1009 é ímpar, então
summ=0^1010(-1)^m = 1, summ=0^1009(-1)^m = 0
Portanto
S equiv 1 + 10cdot0 = 1 pmod101

Resposta

O resto da divisão de 1+10^1+10^2+cdots+10^2020 por 101 é boxed1.

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