Resolva a integral integral 1(1+x^2)^3 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 1l(1+x^2r)^3,dx
O conteúdo envolvido é integração de função racional com potência de (1+x^2); podemos usar uma fórmula de redução ou substituição trigonométrica.

Passo 2

Aplicando a fórmula de redução para
integral dx(1+x^2)^n, que é
integral dx(1+x^2)^n =x2(n-1)(1+x^2)^n-1 +2n-32(n-1)integral dx(1+x^2)^n-1,
com n=3 obtemos
integral dx(1+x^2)^3 =x4(1+x^2)^2 +34integral dx(1+x^2)^2

Passo 3

Precisamos então calcular
integral dx(1+x^2)^2. Usando a substituição x=tantheta ou recordando o resultado padrão, tem-se
integral dx(1+x^2)^2 =x2(1+x^2) +12arctan x + C1

Passo 4

Substituindo em

Passo 5

integral dx(1+x^2)^3 =x4(1+x^2)^2 +34!l(x2(1+x^2)+12arctan xr) + C
=x4(1+x^2)^2 +3x8(1+x^2) +38arctan x + C
Agrupando os termos racionais em denominar comum 8(1+x^2)^2:
x4(1+x^2)^2+3x8(1+x^2) =2x(1+x^2)+3x8(1+x^2)^2 =x(5+3x^2)8(1+x^2)^2

Resposta

integral dx(1+x^2)^3 =x,(5+3x^2)8(1+x^2)^2 +38arctan x + C

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