Para um inteiro não negativo n, i^n pode ter um de quatro valores: 1, i,-1 e-i. Em cada um dos quatro casos seguintes, expresse o expoente inteiro n em termos do símbolo k, onde k=0,1,2,3, ldots
© i^n=-1

Passo 1

O enunciado pede, no caso em que i^n=-1, encontrar a forma geral de n em termos de um inteiro k>=0. O conteúdo aqui é potência do número imaginário i e vai usar a ideia de ciclos modulares de período 4.

Passo 2

É importante lembrar que as potências de i se repetem a cada 4 expoentes: i^0=1, i^1=i, i^2=-1, i^3=-i e depois disso volta a ser i^4=1 e assim por diante. Então, para que i^n=-1, precisamos que n deixe resto 2 na divisão por 4, ou seja, nequiv2pmod4.

Passo 3

A congruência nequiv2pmod4 significa que n pode ser escrito como múltiplo de 4 acrescido de 2. Logo, a forma geral é

Passo 4

n=4k+2, k=0,1,2,dots

Resposta

n=4k+2, com k=0,1,2, …

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