Um número par é um número em Z da forma 2 n, com n in Z. Um número ímpar é um número em Z da forma 2 m+1, com m in Z. Por exemplo, 9=2 cdot 4+1. Logo 9 é ímpar.
Prove que o produto de números ímpares é ímpar.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar que, dados dois números ímpares, seu produto também é ímpar. Vamos usar as definições formais de número par e ímpar e propriedades de fechamento de ℤ.

Passo 2

Sejam dois números ímpares a e b. Pela definição, existem m e n em ℤ tais que
a = 2m + 1
e
b = 2n + 1

Passo 3

Calculemos o produto a·b usando essas expressões:
acdot b = (2m + 1)(2n + 1)
Expandindo, temos
acdot b = 4mn + 2m + 2n + 1

Passo 4

Agrupando os termos que contêm fator 2, obtemos:
acdot b = 2(2mn + m + n) + 1
Como m e n são inteiros e ℤ é fechado sob soma e multiplicação, o número
k = 2mn + m + n
pertence a ℤ. Portanto, a·b é da forma 2k + 1, ou seja, é ímpar.

Resposta

Como a·b = 2k + 1 com k = 2mn + m + n ∈ ℤ, concluímos que o produto de dois ímpares é ímpar.

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