Um número par é um número em
da forma
, com
. Um número ímpar é um número em
da forma
, com
. Por exemplo,
. Logo 9 é ímpar.
Prove que o produto de números ímpares é ímpar.
Prove que o produto de números ímpares é ímpar.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos mostrar que, dados dois números ímpares, seu produto também é ímpar. Vamos usar as definições formais de número par e ímpar e propriedades de fechamento de ℤ.
Passo 2
Sejam dois números ímpares a e b. Pela definição, existem m e n em ℤ tais que
e
Passo 3
Calculemos o produto a·b usando essas expressões:
Expandindo, temos
Passo 4
Agrupando os termos que contêm fator 2, obtemos:
Como m e n são inteiros e ℤ é fechado sob soma e multiplicação, o número
pertence a ℤ. Portanto, a·b é da forma 2k + 1, ou seja, é ímpar.
Resposta
Como a·b = 2k + 1 com k = 2mn + m + n ∈ ℤ, concluímos que o produto de dois ímpares é ímpar.