4́ Questão (10 pts) Para a função
, determine os seguintes objetos:
(a) O domínio, as raízes e as possíveis assíntotas:
(b) O diagrama de sinais de
, os intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais:
(c) O diagrama de sinais de
, os intervalos de concavidade para cima e para baixo, pontos de inflexão:
(d) Esboço do gráfico:
(a) O domínio, as raízes e as possíveis assíntotas:
(b) O diagrama de sinais de
(c) O diagrama de sinais de
(d) Esboço do gráfico:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
(a) domínio, raízes e assíntotas;
(b) diagrama de sinais de , intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais;
(c) diagrama de sinais de , intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
(d) esboço do gráfico.
Para isso vamos:
(a) domínio, raízes e assíntotas;
(b) diagrama de sinais de
(c) diagrama de sinais de
(d) esboço do gráfico.
Para isso vamos:
- Analisar domínio e limites para assíntotas;
- Calcular
e estudar seu sinal; - Calcular
e estudar seu sinal; - Reunir tudo para esboçar o gráfico.
Passo 2
Determinar domínio, raízes e assíntotas.
- Domínio: o denominador
não pode ser zero, logo
- Raiz (intercepto em
): solve dá . - Assíntotas verticais: ocorre em
. - Assíntotas horizontais:
logo
é assíntota horizontal. Não há oblíqua, pois o grau do denominador excede em 2 o do numerador.
Passo 3
Calcular
e estudar monotonicidade.
- Escrevendo
, temos
- Zeros e pontos críticos: numerador zero em
; denominador zero em (fora do domínio). - Sinal de
: como para , o sinal vem de . - Se
, então . - Se
, então .
- Se
- Conclusões de monotonicidade:
-
é crescente em . -
é decrescente em .
-
- Extremo local: em
há troca de crescente para decrescente, logo máximo local com
Passo 4
Calcular
e estudar concavidade.
- A partir de
, faça
- Zeros e pontos de inflexão: numerador zero em
; denominador zero em . - Sinal de
: - Para
: e (côncavo para cima). - Para
: e (côncavo para baixo). - Para
: e (côncavo para cima).
- Para
- Portanto,
é ponto de inflexão com
Passo 5
Esboço do gráfico usando tudo o que achamos:
- Em
, ; em , . - Em
e , pela assíntota . - Ramo
: crescente e côncavo para cima, vindo de até em . - Ramo
: crescente e côncavo para baixo, partindo de em , cruza , atinge máximo em . - Ramo
: decrescente e ainda côncavo para baixo, sai de . - Ramo
: decrescente e côncavo para cima, sai de e tende a .
Resposta
(a) Domínio:
. Raiz:
. Assíntotas: vertical em
, horizontal em
.
(b)
(b)
sinal positivo em
(cresce) e negativo em
(decresce). Máximo local em
com
.
(c)
(c)
côncavo para cima em
, côncavo para baixo em
. Ponto de inflexão em
,
.
(d) Esboço conforme descrito no passo anterior.
(d) Esboço conforme descrito no passo anterior.