4́ Questão (10 pts) Para a função f(x)=\frac{x-2}{x^{3}}, determine os seguintes objetos:
(a) O domínio, as raízes e as possíveis assíntotas:
(b) O diagrama de sinais de f^{\prime}(x), os intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais:
(c) O diagrama de sinais de f^{\prime \prime}(x), os intervalos de concavidade para cima e para baixo, pontos de inflexão:
(d) Esboço do gráfico:

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x-2}{x^{3}}
e pede:
(a) domínio, raízes e assíntotas;
(b) diagrama de sinais de f'(x), intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais;
(c) diagrama de sinais de f''(x), intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
(d) esboço do gráfico.
Para isso vamos:
  1. Analisar domínio e limites para assíntotas;
  2. Calcular f'(x) e estudar seu sinal;
  3. Calcular f''(x) e estudar seu sinal;
  4. Reunir tudo para esboçar o gráfico.

Passo 2

Determinar domínio, raízes e assíntotas.
  1. Domínio: o denominador x^3 não pode ser zero, logo
\text{Dom}(f)=(-\infty,0)\cup(0,\infty).
  1. Raiz (intercepto em x): solve x-2=0 x=2.
  2. Assíntotas verticais: ocorre em x=0.
  3. Assíntotas horizontais:
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-2}{x^3} =\lim_{x\to\pm\infty}\frac1{x^2}-\frac{2}{x^3}=0,
logo y=0 é assíntota horizontal. Não há oblíqua, pois o grau do denominador excede em 2 o do numerador.

Passo 3

Calcular f'(x) e estudar monotonicidade.
  1. Escrevendo f(x)=(x-2)x^{-3}, temos
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl((x-2)x^{-3}\bigr) = x^{-3}+ (x-2)(-3)x^{-4} =\frac{x-3(x-2)}{x^4} =\frac{6-2x}{x^4} =\frac{2(3-x)}{x^4}.
  1. Zeros e pontos críticos: numerador zero em x=3; denominador zero em x=0 (fora do domínio).
  2. Sinal de f'(x): como x^4>0 para x\neq0, o sinal vem de 3-x.
    • Se x<3, então 3-x>0 \Rightarrow f'(x)>0.
    • Se x>3, então 3-x<0 \Rightarrow f'(x)<0.
  3. Conclusões de monotonicidade:
    • f é crescente em (-\infty,0)\cup(0,3).
    • f é decrescente em (3,\infty).
  4. Extremo local: em x=3 há troca de crescente para decrescente, logo máximo local com
f(3)=\frac{3-2}{3^3}=\frac1{27}.

Passo 4

Calcular f''(x) e estudar concavidade.
  1. A partir de f'(x)=2(3-x)x^{-4}, faça
f''(x) =-2x^{-4}+2(3-x)(-4)x^{-5} =\frac{-2x-8(3-x)}{x^5} =\frac{6x-24}{x^5} =\frac{6(x-4)}{x^5}.
  1. Zeros e pontos de inflexão: numerador zero em x=4; denominador zero em x=0.
  2. Sinal de f''(x):
    • Para x<0: x-4<0 e x^5<0 \Rightarrow f''(x)>0 (côncavo para cima).
    • Para 0<x<4: x-4<0 e x^5>0 \Rightarrow f''(x)<0 (côncavo para baixo).
    • Para x>4: x-4>0 e x^5>0 \Rightarrow f''(x)>0 (côncavo para cima).
  3. Portanto, x=4 é ponto de inflexão com
f(4)=\frac{4-2}{4^3}=\frac2{64}=\frac1{32}.

Passo 5

Esboço do gráfico usando tudo o que achamos:
  • Em x\to0^-, f(x)\to+\infty; em x\to0^+, f(x)\to-\infty.
  • Em x\to-\infty e x\to+\infty, f(x)\to0 pela assíntota y=0.
  • Ramo x<0: crescente e côncavo para cima, vindo de y=0^+ até +\infty em x\to0^-.
  • Ramo 0<x<3: crescente e côncavo para baixo, partindo de -\infty em x\to0^+, cruza x=2, atinge máximo em (3,1/27).
  • Ramo 3<x<4: decrescente e ainda côncavo para baixo, sai de (3,1/27).
  • Ramo x>4: decrescente e côncavo para cima, sai de (4,1/32) e tende a y=0^+.

Resposta

(a) Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty). Raiz: x=2. Assíntotas: vertical em x=0, horizontal em y=0.
(b)
f'(x)=\frac{2(3-x)}{x^4},
sinal positivo em (-\infty,0)\cup(0,3) (cresce) e negativo em (3,\infty) (decresce). Máximo local em x=3 com f(3)=1/27.
(c)
f''(x)=\frac{6(x-4)}{x^5},
côncavo para cima em (-\infty,0)\cup(4,\infty), côncavo para baixo em (0,4). Ponto de inflexão em x=4, f(4)=1/32.
(d) Esboço conforme descrito no passo anterior.

Exercícios relacionados