2^{\underline{a}} Questão (8 pts) Esboce a região limitada pela reta y=-x e pela parábola y=6-x^{2}. Calcule sua área.
Cálculos:

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região limitada pela reta y=-x e pela parábola y=6 - x^2 e calcular a área dessa região. O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas usando integrais definidas. Vamos encontrar os pontos de interseção, identificar qual curva fica por cima e montar a integral correspondente.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção resolvendo
-x = 6 - x^2
ou seja
x^2 - x - 6 = 0.
As raízes são
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2},
portanto x_1 = -2 e x_2 = 3. Os pontos de interseção são (-2,2) e (3,-3).

Passo 3

Para x variando de -2 até 3, comparamos
y_p = 6 - x^2 \quad\text{e}\quad y_r = -x.
Por exemplo, em x=0 temos y_p=6>0=y_r, logo a parábola está acima da reta em todo esse intervalo. Assim, a região desejada é a “fatia” entre essas duas curvas para -2\le x\le3.

Passo 4

A área A dessa região é
A = \int_{-2}^{3} \bigl[(6 - x^2) - (-x)\bigr]\,dx = \int_{-2}^{3} \bigl(6 + x - x^2\bigr)\,dx.
Calculamos a antiderivada:
\int (6 + x - x^2)\,dx = 6x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}.
Agora avaliamos de -2 a 3:
\Bigl(6\cdot3 + \tfrac{3^2}{2} - \tfrac{3^3}{3}\Bigr) - \Bigl(6\cdot(-2) + \tfrac{(-2)^2}{2} - \tfrac{(-2)^3}{3}\Bigr).
No primeiro parêntese:
6\cdot3 = 18,\quad \tfrac{9}{2}=4{,}5,\quad \tfrac{27}{3}=9 \quad\Longrightarrow\quad 18 + 4{,}5 - 9 = 13{,}5.
No segundo parêntese:
6\cdot(-2)=-12,\quad \tfrac{4}{2}=2,\quad \tfrac{-8}{3}=-\tfrac{8}{3} \quad\Longrightarrow\quad -12 + 2 - \bigl(-\tfrac{8}{3}\bigr) = -10 + \tfrac{8}{3} = -\tfrac{22}{3}.
Subtraindo,
13{,}5 - \bigl(-\tfrac{22}{3}\bigr) = \frac{27}{2} + \frac{22}{3} = \frac{81 + 44}{6} = \frac{125}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{125}{6}

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