Interferência: Intensidade na experiência de Young
Na experiência de Young, duas fendas são iluminadas por uma fonte pontual de luz monocromática e produzem uma figura de interferência em uma tela. Uma luz coerente de comprimento de onda lambda passa pelas duas fendas. Em sua padrão de interferência na tela, a distância do centro do máximo central até o primeiro mínimo é de 3,60 mm. Se a intensidade no pico de um máximo central é igual a 0,0600 W/m^2, qual é a intensidade nos pontos da tela que estão a (b) 1,50 mm do centro do máximo central?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente está falando sobre a Interferência na experiência de Young, que é um experimento clássico de física óptica. Nesse experimento, a luz passa por duas fendas e interfere, formando um padrão de franjas claras e escuras numa tela. A gente sabe o seguinte:
  • A distância do centro do máximo central até o primeiro mínimo é de 3,60 mm.
  • A intensidade no pico do máximo central é 0,0600 W/m².
  • A questão quer saber qual é a intensidade nos pontos que estão 1,50 mm do centro do máximo central.
Pra resolver isso, vamos precisar entender como a intensidade varia no padrão de interferência e usar algumas fórmulas da interferência de double-slit (duas fendas). Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o padrão de interferência de duas fendas. Quando a luz passa pelas duas fendas, as ondas de luz que saem delas se sobrepõem na tela. Dependendo da diferença de caminho que as ondas percorrem, elas podem se reforçar ou se cancelar.
Os pontos onde as ondas se reforçam totalmente são chamados máximos de interferência (franjas brilhantes), e os pontos onde elas se cancelam completamente são chamados de mínimos de interferência (franjas escuras).
A posição dos mínimos de interferência ocorre quando a diferença de caminho é tal que as ondas estão fora de fase, ou seja, a diferença é igual a multiplos ímpares de meio comprimento de onda:
De
onde $ m $ é um número inteiro (1, 2, 3, …).

Passo 3

Agora, vamos relacionar essa diferença de caminho com a posição na tela. Assumindo que estamos trabalhando com pequenos ângulos, o que é comum em experimentos de interferência, podemos usar a aproximação do ângulo pequeno ($ \theta $) onde $ \sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta $.
A distância entre as fendas e a tela é $ D $, e a posição $ y $ na tela onde ocorre o mínimo é dada por:
theta
onde $ d $ é a distância entre as duas fendas.
No nosso caso, sabemos que a distância do centro ao primeiro mínimo ($ m = 0 $) é 3,60 mm. Vamos usar essa informação para encontrar uma relação entre $ \lambda $, $ D $, e $ d $.

Passo 4

Mas, na verdade, o que precisamos é relacionar a intensidade da luz com a posição na tela. A intensidade na interferência de duas fendas pode ser dada por:
I(y) = Imáx cos^2( pi d ylambda D ) á
onde:
  • $ I(y) $ é a intensidade na posição $ y $,
  • $ I_{máx} $ é a intensidade no máximo central,
  • $ d $ é a distância entre as fendas,
  • $ \lambda $ é o comprimento de onda da luz,
  • $ D $ é a distância das fendas à tela.
Essa fórmula nos mostra como a intensidade varia com a posição $ y $ na tela.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar a relação entre as variáveis usando a informação do primeiro mínimo. No primeiro mínimo ($ m = 0 $), a intensidade é mínima, ou seja, $ I(y) = 0 $.
Então, temos:
m = 0
Isso acontece quando o argumento do cosseno é $ \frac{\pi}{2} $:
I(y) = 0
Simplificando:
cos^2( pi d ylambda D ) = 0
Portanto:
pi2
Essa relação nos ajuda a expressar $ d $ em termos de $ \lambda $, $ D $ e $ y $.

Passo 6

Agora, vamos substituir essa relação na fórmula da intensidade:
I(y) = Imáx cos^2( pi ( lambda D2 y ) ylambda D ) á
Simplificando dentro do cosseno:
I(y) = Imáx cos^2( pi2 ) á
Sabemos que $ \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0 $, então:
cos( pi2 ) = 0 á
Isso confirma que no primeiro mínimo a intensidade é realmente zero, conforme informado.

Passo 7

Mas queremos a intensidade em $ y = 1,50 $ mm, que está entre o centro ($ y = 0 y = 1,50 í y = 3,60 $ mm). Vamos usar a fórmula da intensidade para esse valor de $ y $:
y = 0 á
Sabemos que $ \frac{d}{D} = \frac{\lambda}{2 y_{mín}} $ (da relação que encontramos no Passo 5), onde $ y_{mín} = 3,60 $ mm. Então:
y = 3,60
Substituindo na fórmula da intensidade:
y á
Simplificando:
I(y) = Imáx cos^2( pi d ylambda D ) á
dD = lambda2 ymín á
ymín = 3,60 á

Passo 8

Agora, vamos calcular o valor dentro do cosseno:
pi4,8 approx 0,6545 radians
Calculando o cosseno:
cos(0,6545) approx 0,793
Agora, elevamos ao quadrado:
cos^2(0,6545) approx (0,793)^2 approx 0,629
Finalmente, multiplicamos pela intensidade máxima:
I(y) = 0,0600 W/m^2 times 0,629 approx 0,0378 W/m^2

Resposta

A intensidade nos pontos que estão a 1,50 mm do centro do máximo central é aproximadamente 0,0378 W/m².

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