Na interferência em meios materiais sabemos que quando a luz passa de um meio para outro, a mesma sofre uma alteração em sua velocidade (v) e comprimento de onda (\lambda), porém sua frequência permanece constante. Com essas informações, faça o que se pede:
(a) (1,0) Demonstre a lei de Snell Descartes para um feixe de luz que atravessa um meio material heterogêneo com índices de refração n_{1} e n_{2}. Escreva sua resposta em termos de v_{1}, \lambda_{1}, v_{2} e \lambda_{2}.
(b) (1,0) Para uma amostra heterogênea de dois materiais distintos com índices de refração n_{1} e n_{2} de comprimento L calcule uma expressão para o tempo de atraso da luz ao passar pelos dois meios.
(c) (1,0) Encontre uma expressão para a variação de número de comprimentos de onda ( \Delta N ) que cabe dentro da amostra de comprimento L e escreva a mesma em termos das grandezas medidas no vácuo. Em qual condição matemática de \Delta N teremos uma interferência construtiva ou destrutiva? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado trata de três tópicos da óptica em meios materiais:
  1. Demonstrar a lei de Snell–Descartes em termos das velocidades \,v_1,v_2 e dos comprimentos de onda \,\lambda_1,\lambda_2.
  2. Para dois caminhos (ou duas camadas) de mesmo espessura L com índices n_1,n_2, achar a diferença de tempo de propagação (atraso).
  3. Calcular a variação no número de comprimentos de onda \Delta N que “cabe” numa espessura L, expressá-la usando grandezas do vácuo e dar a condição matemática para interferência construtiva ou destrutiva.

Passo 2

A lei de Snell vem da continuidade de fase na interface. Como a frequência \,f não muda, cada meio tem
k_i=\frac{2\pi}{\lambda_i},
e um deslocamento paralelo \Delta x acumula fase \;k_i\,\Delta x\sin\theta_i. Igualando as fases ao longo da interface:
k_1\sin\theta_1=k_2\sin\theta_2.
Substituindo k_i=2\pi/\lambda_i resulta
\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} =\frac{\lambda_1}{\lambda_2}.
Como v_i=f\,\lambda_i e f é comum, concluímos também
\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} =\frac{v_1}{v_2}.
Esse é o enunciado de Snell–Descartes em termos de \,v_i e \,\lambda_i.

Passo 3

Supondo dois caminhos de igual espessura L, um com velocidade v_1 e outro com v_2, os tempos de trânsito são
t_1=\frac{L}{v_1}, \quad t_2=\frac{L}{v_2}.
A diferença (atraso) é
\Delta t =t_1-t_2 =L\Bigl(\frac{1}{v_1}-\frac{1}{v_2}\Bigr).

Passo 4

O número de comprimentos de onda que “cabe” em espessura L em cada meio é N_i=L/\lambda_i. Logo a variação
\Delta N =N_1-N_2 =\frac{L}{\lambda_1}-\frac{L}{\lambda_2} =L\Bigl(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\Bigr).
Como em cada meio \lambda_i=\lambda_0/n_i ( \lambda_0 é o comprimento de onda no vácuo), fica
\Delta N =L\Bigl(\frac{n_1}{\lambda_0}-\frac{n_2}{\lambda_0}\Bigr) =\frac{L\,(n_1-n_2)}{\lambda_0}.
Para interferência, a diferença de fase é \Delta\varphi=2\pi\,\Delta N.
  • Construtiva: \Delta\varphi=2\pi m \;\Longrightarrow\;\Delta N=m, m\in\mathbb{Z}.
  • Destrutiva: \Delta\varphi=(2m+1)\pi \;\Longrightarrow\;\Delta N=m+\tfrac12.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}=\frac{v_1}{v_2}.
(b) \displaystyle \Delta t=L\Bigl(\frac{1}{v_1}-\frac{1}{v_2}\Bigr).
(c) \displaystyle \Delta N =L\Bigl(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\Bigr) =\frac{L\,(n_1-n_2)}{\lambda_0}.
Interferência construtiva se \Delta N=m, destrutiva se \Delta N=m+\tfrac12.

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