Uma onda eletromagnética senoidal propaga-se no vácuo e seu campo elétrico obedece a equação \vec{E}(x, t)=375 \operatorname{sen}\left[\left(2 \times 10^{7}\right) x-\left(6 \times 10^{15}\right) t\right] \hat{\jmath}, onde \hat{\jmath} é o vetor unitário na direção y e todas as grandezas estão em unidades do SI. Considere que a velocidade da luz no vácuo seja c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} e que \pi \approx 3. Com essas informações, determine:
(a) (0,5) A frequência da onda em Hz .
(b) (0,5) 0 comprimento de onda. Essa onda é visível aos olhos humanos?
(c) (1,0) A direção e o sentido de propagação.
(d) (1,5) A expressão correspondente para o campo magnético \vec{B}(x, t) da onda.

Passo 1

O enunciado dá uma onda eletromagnética no vácuo com \displaystyle \vec{E}(x,t)=375\operatorname{sen}\bigl[(2\times10^{7})\,x-(6\times10^{15})\,t\bigr]\hat\jmath.
Aqui \omega=6\times10^{15} rad/s e k=2\times10^{7} rad/m. Precisamos encontrar:
(a) a frequência f,
(b) o comprimento de onda \lambda e verificar se é visível,
(c) direção e sentido de propagação,
(d) a expressão de \vec B(x,t).

Passo 2

Em ondas senoidais no vácuo temos a relação \displaystyle f=\frac{\omega}{2\pi}.
Logo, usando \omega=6\times10^{15} rad/s e \pi\approx3,
f\approx\frac{6\times10^{15}}{2\times3} =1\times10^{15}\,\mathrm{Hz}.

Passo 3

O comprimento de onda pode ser obtido por \displaystyle \lambda=\frac{2\pi}{k}
ou diretamente por \lambda=c/f. Usando k=2\times10^{7} rad/m e \pi\approx3,
\lambda\approx\frac{2\pi}{2\times10^{7}} =\frac{6}{2\times10^{7}} =3\times10^{-7}\,\mathrm{m} =300\,\mathrm{nm}.
Como a faixa visível vai de cerca de 400 nm a 700 nm, 300 nm está no ultravioleta e não é visível.

Passo 4

O argumento da função seno é (kx-\omega t). Isso indica que a onda se propaga no sentido positivo de x. Portanto, a direção de propagação é a de \hat\imath (eixo x), no sentido crescente de x.

Passo 5

Em uma onda eletromagnética em vácuo, \vec{E}, \vec{B} e o vetor de propagação \hat\imath formam um sistema de base direta (regra da mão direita). Como \vec{E}\parallel\hat\jmath e a propagação é em \hat\imath, segue que \vec{B}\parallel\hat{k}.
Além disso, a amplitude de \vec{B} é \displaystyle B_{0}=\frac{E_{0}}{c}=\frac{375}{3\times10^{8}}=1{,}25\times10^{-6}\,\mathrm{T}.
Logo
\vec{B}(x,t) =1{,}25\times10^{-6}\,\operatorname{sen}\bigl[(2\times10^{7})\,x-(6\times10^{15})\,t\bigr]\;\hat{k}.

Resposta

(a) 1\times10^{15}\,\mathrm{Hz}.
(b) 3\times10^{-7}\,\mathrm{m} (300 nm). Não é visível (ultravioleta).
(c) Propaga-se ao longo do eixo x, no sentido positivo de x.
(d) \displaystyle \vec{B}(x,t) =1{,}25\times10^{-6}\,\operatorname{sen}\bigl[(2\times10^{7})\,x-(6\times10^{15})\,t\bigr]\;\hat{k}.

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