4. Não-Linearidade em Dispositivos Semicondutores

A característica tensão-corrente em diodos de potência apresenta comportamento não-linear que pode ser aproximado por diferenças de raízes.
Avalie: O limite que representa a resistência dinâmica:
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n})}{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite que define a resistência dinâmica de um diodo de potência, ou seja
\lim_{n\to\infty}\frac{3\bigl(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}\bigr)}{2\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr)}.
Para resolver, vamos usar a ideia de aproximar diferenças de raízes para n grande por meio do desenvolvimento em série de Taylor (ou usando derivadas).

Passo 2

Para n grande, podemos aproximar
\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n} \approx \bigl(\tfrac{d}{dn}n^{1/3}\bigr)\cdot1 =\frac{1}{3}\,n^{-2/3}
e
\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \approx \bigl(\tfrac{d}{dn}n^{1/2}\bigr)\cdot1 =\frac{1}{2}\,n^{-1/2}.

Passo 3

Substituindo essas aproximações no quociente do limite, temos
\frac{3\bigl(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}\bigr)}{2\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr)} \approx \frac{3\cdot\bigl(\frac{1}{3}n^{-2/3}\bigr)}{2\cdot\bigl(\frac{1}{2}n^{-1/2}\bigr)} = \frac{n^{-2/3}}{n^{-1/2}} = n^{-2/3+1/2} = n^{-1/6}.

Passo 4

Como n\to\infty, n^{-1/6}\to0. Logo, o limite da expressão original também vale zero.

Resposta

O valor do limite é 0.

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