No interior de uma nave espacial em repouso sobre a superfície terrestre, uma bola rola pelo topo de uma mesa horizontal e cai no chão a uma distância D do pé da mesa. Essa nave espacial agora aterrisa no inexplorado Planeta X. O comandante, capitão Curioso, rola a mesma bola, pela mesma mesa e com a mesma velocidade escalar inicial como ocorreu na superfície terrestre e descobre que ela cai no chão a uma distância de 2,76D do pé da mesa. Qual a aceleração da gravidade no planeta x?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. Temos uma bola que rola de uma mesa e cai no chão a uma distância D na Terra. Quando fazemos o mesmo experimento em outro planeta, ela cai a 2,76 vezes essa distância, ou seja, 2,76D. A gente precisa descobrir qual é a aceleração da gravidade nesse Planeta X. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do movimento de projéteis e entender como a gravidade influencia na distância que a bola vai percorrer.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no movimento da bola. Como a bola é rolada horizontalmente, a velocidade inicial na direção horizontal é constante, porque não tem aceleração horizontal (desprezando a resistência do ar). A distância horizontal que a bola percorre depende do tempo que ela leva para cair.
A equação que relaciona a altura da mesa (h), a aceleração da gravidade (g) e o tempo de queda (t) é:
h = 12 g t^2
Dessa equação, podemos isolar o tempo:
t = raiz2hg

Passo 3

Agora, a distância horizontal (D) que a bola percorre está relacionada com a velocidade inicial (v) e o tempo de queda:
D = v t
Substituindo o valor de t que encontramos:
D = v raiz2hg

Passo 4

Na Terra, temos:
D = v raiz2hgTerra
No Planeta X, a distância é 2,76D:
2,76D = v raiz2hgX

Passo 5

Vamos dividir a equação do Planeta X pela equação da Terra para eliminar v e h:
2,76DD = v raiz2hgXv raiz2hgTerra
Simplificando:
2,76 = raizgTerragX

Passo 6

Para resolver para $ g_{X} $, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
gX
(2,76)^2 = gTerragX

Passo 7

Agora, isolamos $ g_{X} $:
gX
Sabemos que $ g_{Terra} $ é aproximadamente $ 9,8 , m/s² $:
gX = gTerra7,6176

Resposta

A aceleração da gravidade no Planeta X é aproximadamente $ 1,29 , m/s² $.

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