No interior de uma nave espacial em repouso sobre a superfície terrestre, uma bola rola pelo topo de uma mesa horizontal e cai no chão a uma distância D do pé da mesa. Essa nave espacial agora aterrisa no inexplorado Planeta X. O comandante, capitão Curioso, rola a mesma bola, pela mesma mesa e com a mesma velocidade escalar inicial como ocorreu na superfície terrestre e descobre que ela cai no chão a uma distância de 2,76D do pé da mesa. Qual a aceleração da gravidade no planeta x?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. Temos uma bola que rola de uma mesa e cai no chão a uma distância D na Terra. Quando fazemos o mesmo experimento em outro planeta, ela cai a 2,76 vezes essa distância, ou seja, 2,76D. A gente precisa descobrir qual é a aceleração da gravidade nesse Planeta X. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do movimento de projéteis e entender como a gravidade influencia na distância que a bola vai percorrer.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no movimento da bola. Como a bola é rolada horizontalmente, a velocidade inicial na direção horizontal é constante, porque não tem aceleração horizontal (desprezando a resistência do ar). A distância horizontal que a bola percorre depende do tempo que ela leva para cair.
A equação que relaciona a altura da mesa (h), a aceleração da gravidade (g) e o tempo de queda (t) é:
Dessa equação, podemos isolar o tempo:
Passo 3
Agora, a distância horizontal (D) que a bola percorre está relacionada com a velocidade inicial (v) e o tempo de queda:
Substituindo o valor de t que encontramos:
Passo 4
Na Terra, temos:
No Planeta X, a distância é 2,76D:
Passo 5
Vamos dividir a equação do Planeta X pela equação da Terra para eliminar v e h:
Simplificando:
Passo 6
Para resolver para $ g_{X} $, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 7
Agora, isolamos $ g_{X} $:
Sabemos que $ g_{Terra} $ é aproximadamente $ 9,8 , m/s² $:
Resposta
A aceleração da gravidade no Planeta X é aproximadamente $ 1,29 , m/s² $.