(*) Suponha que a entropia de uma certa substância (não um sólido de Einstein) seja dada por
, em que
é uma constante. Qual o calor específico
em função da temperatura
?
Passo 1
O enunciado dá a entropia
em função da energia interna
e pede o calor específico
em função da temperatura
.
Informações fornecidas:
onde
é uma constante conhecida.
O que é pedido:
- Determinar o calor específico
como função de .
Passo 2
Lembrete essencial (definição que vamos usar): a temperatura termodinâmica
está ligada à entropia e à energia pela relação
Explicando de forma simples: a derivada
mede quanto a entropia muda quando a energia muda; o recíproco dessa taxa é a temperatura. Aqui
é entropia (unidades de energia/temperatura),
é energia interna, e
é temperatura absoluta.
Passo 3
Vamos calcular a derivada
a partir de
. Use a regra de potência: se
então
.
Aplicando com
:
Passo 4
Agora usamos a relação com a temperatura:
Invertendo para isolar
:
Elevando ao quadrado para obter
em função de
:
Essas manipulações são apenas álgebra simples: isolamos a raiz e quadramos.
Passo 5
Definição de calor específico que vamos usar: o calor específico (aqui assumimos calor específico associado à variação da energia interna com a temperatura) é
Substituímos a expressão de
e derivamos em relação a
. Como
, pela regra do poder:
Passo 6
Verificação alternativa (cheque didático): podemos também expressar
em função de
usando
. Substituindo em
obtemos
Então usando a identidade
(válida em processos reversíveis) temos
o que confirma o resultado anterior. Bom sinal: dois caminhos diferentes deram a mesma expressão.