(*) Suponha que a entropia de uma certa substância (não um sólido de Einstein) seja dada por S=a \sqrt{E}, em que a é uma constante. Qual o calor específico C em função da temperatura T ?

Passo 1

O enunciado dá a entropia S em função da energia interna E e pede o calor específico C em função da temperatura T.
Informações fornecidas:
S = a \sqrt{E},
onde a é uma constante conhecida.
O que é pedido:
  • Determinar o calor específico C como função de T.

Passo 2

Lembrete essencial (definição que vamos usar): a temperatura termodinâmica T está ligada à entropia e à energia pela relação
\frac{1}{T}=\frac{dS}{dE}.
Explicando de forma simples: a derivada \dfrac{dS}{dE} mede quanto a entropia muda quando a energia muda; o recíproco dessa taxa é a temperatura. Aqui S é entropia (unidades de energia/temperatura), E é energia interna, e T é temperatura absoluta.

Passo 3

Vamos calcular a derivada \dfrac{dS}{dE} a partir de S=a\sqrt{E}. Use a regra de potência: se f(E)=E^{n} então f'(E)=nE^{n-1}.
Aplicando com n=\tfrac{1}{2}:
\frac{dS}{dE}=a\cdot\frac{1}{2}E^{-1/2}=\frac{a}{2\sqrt{E}}.

Passo 4

Agora usamos a relação com a temperatura:
\frac{1}{T}=\frac{a}{2\sqrt{E}}.
Invertendo para isolar \sqrt{E}:
\sqrt{E}=\frac{aT}{2}.
Elevando ao quadrado para obter E em função de T:
E=\frac{a^{2}T^{2}}{4}.
Essas manipulações são apenas álgebra simples: isolamos a raiz e quadramos.

Passo 5

Definição de calor específico que vamos usar: o calor específico (aqui assumimos calor específico associado à variação da energia interna com a temperatura) é
C=\frac{dE}{dT}.
Substituímos a expressão de E(T) e derivamos em relação a T. Como E(T)=\dfrac{a^{2}}{4}T^{2}, pela regra do poder:
\frac{dE}{dT}=\frac{a^{2}}{4}\cdot 2T=\frac{a^{2}}{2}T.

Passo 6

Verificação alternativa (cheque didático): podemos também expressar S em função de T usando \sqrt{E}=\dfrac{aT}{2}. Substituindo em S=a\sqrt{E} obtemos
S(T)=a\cdot\frac{aT}{2}=\frac{a^{2}}{2}T.
Então usando a identidade C=T\frac{dS}{dT} (válida em processos reversíveis) temos
C=T\cdot\frac{d}{dT}\!\left(\frac{a^{2}}{2}T\right)=T\cdot\frac{a^{2}}{2}=\frac{a^{2}}{2}T,
o que confirma o resultado anterior. Bom sinal: dois caminhos diferentes deram a mesma expressão.

Resposta

C(T)=\dfrac{a^{2}}{2}\,T

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