Interprete geometricamente os conjuntos a seguir e explique porque eles não são espaços vetoriais com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
W=\left\{(x, y) \in R^{2}, y=x^{3}\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \,W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=x^{3}\}\, e pede duas coisas:
  • Interpretar geometricamente esse conjunto.
  • Explicar por que W não é um espaço vetorial quando usamos a adição e multiplicação por escalar usuais em \mathbb{R}^2.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • Cada elemento de W tem a forma (x,x^{3}) para algum x\in\mathbb{R}.
  • O ponto (0,0) pertence a W porque 0^{3}=0.

Passo 2

Interpretação geométrica (desenho mental e propriedades básicas).
  • O conjunto W é o gráfico da função real f dada por f(x)=x^{3}. Geometricamente, é uma curva no plano: uma curva cúbica que passa pela origem, cresce para a direita e decresce para a esquerda (função ímpar).
  • Exemplos de pontos em W: (0,0), (1,1), (-1,-1), (2,8), etc.
  • Observação geométrica importante: em \mathbb{R}^2 os subespaços vetoriais possíveis são apenas (i) o subespaço trivial \{(0,0)\}, (ii) retas que passam pela origem, ou (iii) todo \mathbb{R}^2. A curva y=x^{3} não é uma reta e também não é todo o plano (por exemplo (0,1)\notin W), nem é apenas o ponto (0,0) (pois (1,1)\in W). Portanto geometricamente já parece claro que W não é um subespaço linear.

Passo 3

Teste formal: fechamento por multiplicação por escalar (condição necessária para subespaço).
  • Se (x,x^{3})\in W e a\in\mathbb{R}, então
a\,(x,x^{3})=(ax,\;a x^{3}).
  • Para que a\,(x,x^{3}) pertença a W precisa existir um número t tal que ax=t e a x^{3}=t^{3}. Como t=ax, impondo a x^{3}=t^{3}=(ax)^{3}=a^{3}x^{3} obtemos a igualdade
a x^{3}=a^{3}x^{3}.
  • Reescrevendo,
(a^{3}-a)\,x^{3}=0.
  • Para essa igualdade ser verdadeira para todo x (ou seja, para todo vetor (x,x^{3}) e todo escalar a) seria necessário que a^{3}-a=0 para todo a, o que é falso; na prática a igualdade só vale para a\in\{0,1,-1\} ou para x=0. Logo, em geral a multiplicação por escalar não preserva W.
Contraexemplo simples (numérico): tome (1,1)\in W (porque 1^{3}=1). Para o escalar a=2,
2\,(1,1)=(2,2).
Mas (2,2)\notin W porque, para pertencer a W, o segundo componente teria de ser 2^{3}=8, e 2\neq8. Portanto W não é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 4

Teste formal: fechamento por adição (outra condição necessária).
  • Tome dois vetores arbitrários de W: (x_{1},x_{1}^{3}) e (x_{2},x_{2}^{3}). A soma é
(x_{1},x_{1}^{3})+(x_{2},x_{2}^{3})=(x_{1}+x_{2},\;x_{1}^{3}+x_{2}^{3}).
  • Para que essa soma esteja em W é preciso que o segundo componente seja o cubo da soma das abscissas, ou seja
x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})^{3}.
  • Expandindo o lado direito:
(x_{1}+x_{2})^{3}=x_{1}^{3}+3x_{1}^{2}x_{2}+3x_{1}x_{2}^{2}+x_{2}^{3}.
  • Subtraindo x_{1}^{3}+x_{2}^{3} de ambos os lados obtemos a condição necessária
0=3x_{1}^{2}x_{2}+3x_{1}x_{2}^{2}=3x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2}).
  • Essa condição não vale para escolhas genéricas de x_{1},x_{2}. Logo a soma de dois vetores de W nem sempre pertence a W.
Contraexemplo simples (numérico): escolha (1,1)\in W e (1,1)\in W. A soma é
(1,1)+(1,1)=(2,2).
Mas (2,2)\notin W porque o segundo componente deveria ser 2^{3}=8. Portanto W não é fechado sob adição.

Passo 5

Conclusão final e interpretação didática.
  • Geometricamente W é uma curva cúbica (o gráfico de y=x^{3}), que passa pela origem mas não é uma reta. Como em \mathbb{R}^{2} um subespaço linear tem que ser uma reta passando pela origem (ou o plano todo ou \{(0,0)\}), e W não se enquadra em nenhuma dessas opções, espera-se que não seja subespaço.
  • Formalmente, W falha nas propriedades fundamentais de subespaço: não é fechado sob multiplicação por escalar nem sob adição (mostrado com argumentos algébricos gerais e com contraexemplos numéricos).

Resposta

W é o gráfico da função \,y=x^{3}\, (uma curva cúbica que passa pela origem) e não é um espaço vetorial porque não é fechado sob multiplicação por escalar nem sob adição (por exemplo (1,1)\in W mas 2(1,1)=(2,2)\notin W; também (1,1)+(1,1)=(2,2)\notin W).

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