Interprete geometricamente os conjuntos a seguir e explique porque eles não são espaços vetoriais com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede duas coisas:
- Interpretar geometricamente esse conjunto.
- Explicar por que
não é um espaço vetorial quando usamos a adição e multiplicação por escalar usuais em .
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- Cada elemento de
tem a forma para algum . - O ponto
pertence a porque .
Passo 2
Interpretação geométrica (desenho mental e propriedades básicas).
- O conjunto
é o gráfico da função real dada por . Geometricamente, é uma curva no plano: uma curva cúbica que passa pela origem, cresce para a direita e decresce para a esquerda (função ímpar). - Exemplos de pontos em
: , , , , etc. - Observação geométrica importante: em
os subespaços vetoriais possíveis são apenas (i) o subespaço trivial , (ii) retas que passam pela origem, ou (iii) todo . A curva não é uma reta e também não é todo o plano (por exemplo ), nem é apenas o ponto (pois ). Portanto geometricamente já parece claro que não é um subespaço linear.
Passo 3
Teste formal: fechamento por multiplicação por escalar (condição necessária para subespaço).
- Se
e , então
- Para que
pertença a precisa existir um número tal que e . Como , impondo obtemos a igualdade
- Reescrevendo,
- Para essa igualdade ser verdadeira para todo
(ou seja, para todo vetor e todo escalar ) seria necessário que para todo , o que é falso; na prática a igualdade só vale para ou para . Logo, em geral a multiplicação por escalar não preserva .
Contraexemplo simples (numérico): tome
(porque
). Para o escalar
,
Mas
porque, para pertencer a
, o segundo componente teria de ser
, e
. Portanto
não é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 4
Teste formal: fechamento por adição (outra condição necessária).
- Tome dois vetores arbitrários de
: e . A soma é
- Para que essa soma esteja em
é preciso que o segundo componente seja o cubo da soma das abscissas, ou seja
- Expandindo o lado direito:
- Subtraindo
de ambos os lados obtemos a condição necessária
- Essa condição não vale para escolhas genéricas de
. Logo a soma de dois vetores de nem sempre pertence a .
Contraexemplo simples (numérico): escolha
e
. A soma é
Mas
porque o segundo componente deveria ser
. Portanto
não é fechado sob adição.
Passo 5
Conclusão final e interpretação didática.
- Geometricamente
é uma curva cúbica (o gráfico de ), que passa pela origem mas não é uma reta. Como em um subespaço linear tem que ser uma reta passando pela origem (ou o plano todo ou ), e não se enquadra em nenhuma dessas opções, espera-se que não seja subespaço. - Formalmente,
falha nas propriedades fundamentais de subespaço: não é fechado sob multiplicação por escalar nem sob adição (mostrado com argumentos algébricos gerais e com contraexemplos numéricos).