Verifique se os conjuntos abaixo com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas, são espaços vetoriais.
(a) V=R^{2}
+:\left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right)
\otimes: k \otimes(x, y)=(x, k y)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Conjunto: V=\mathbb{R}^{2}.
  • Operação de soma dada por: \left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right). (Esta é a soma usual em \mathbb{R}^{2}.)
  • Operação de multiplicação por escalar dada por: k\otimes(x,y)=(x, k\,y). (Observe: o escalar k só multiplica a segunda componente.)
  • Pedido: verificar se o par \bigl(V,+,\otimes\bigr) é um espaço vetorial (ou seja, se todas as propriedades/axiomas de espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R} são satisfeitas).

Passo 2

Breve plano (o que vou checar). Para saber se é espaço vetorial preciso verificar os axiomas padrão. Não é necessário checar todos se eu encontrar um contraexemplo a algum axioma: bastará um único axioma falso para concluir que NÃO é espaço vetorial. Vou checar primeiro os axiomas “mais fáceis” (fechamento, soma usual, existência de zero e inverso) e depois os axiomas que envolvem \otimes (associatividade escalar, identidade escalar, distributividades). Vou explicar cada axioma que eu usar ao aplicá-lo.

Passo 3

Verificação das propriedades da soma (rápido, porque a soma é a usual em \mathbb{R}^{2}).
  • Fechamento: para quaisquer (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2})\in\mathbb{R}^{2}, \left(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}\right)\in\mathbb{R}^{2}. Logo fechado.
  • Associatividade: a soma usual é associativa, ou seja, para quaisquer vetores vale \bigl((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})\bigr)+(x_{3},y_{3})=(x_{1},y_{1})+\bigl((x_{2},y_{2})+(x_{3},y_{3})\bigr).
  • Comutatividade: (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{2},y_{2})+(x_{1},y_{1}).
  • Elemento neutro (vetor zero): (0,0) funciona porque (x,y)+(0,0)=(x,y).
  • Inverso aditivo: para (x,y) o inverso é (-x,-y) porque (x,y)+(-x,-y)=(0,0).
Portanto, todas as propriedades puramente da soma são satisfeitas.

Passo 4

Fechamento em relação à multiplicação por escalar.
  • Para qualquer k\in\mathbb{R} e (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, temos k\otimes(x,y)=(x,k\,y)\in\mathbb{R}^{2}. Logo a operação \otimes envia vetores em \mathbb{R}^{2} para \mathbb{R}^{2}: o fechamento é satisfeito.

Passo 5

Verificação de axiomas que envolvem \otimes que costumam ser necessários: identidade escalar e associatividade escalar.
  • Identidade escalar: deve valer 1\otimes(x,y)=(x,y) para todo (x,y). Aqui
1\otimes(x,y)=(x,1\cdot y)=(x,y),
logo esse axioma é satisfeito.
  • Associatividade de escalares: deve valer (a b)\otimes(x,y)=a\otimes\bigl(b\otimes(x,y)\bigr) para quaisquer a,b\in\mathbb{R}. Calculando:
(a b)\otimes(x,y)=(x,(a b)y)
e
b\otimes(x,y)=(x,b y),\qquad a\otimes\bigl(b\otimes(x,y)\bigr)=a\otimes(x,b y)=(x,a(b y))=(x,(a b)y).
Portanto a associatividade escalar também é satisfeita.

Passo 6

Agora verifico a propriedade de distributividade do escalar em relação à soma de vetores (um dos dois tipos de distributividade):
A propriedade exige a\otimes\bigl((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})\bigr)=a\otimes(x_{1},y_{1})+a\otimes(x_{2},y_{2}).
  • Calculo à esquerda:
a\otimes\bigl((x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2})\bigr)=(x_{1}+x_{2},\,a(y_{1}+y_{2})).
  • Calculo à direita:
a\otimes(x_{1},y_{1})+a\otimes(x_{2},y_{2})=(x_{1},a y_{1})+(x_{2},a y_{2})=(x_{1}+x_{2},\,a y_{1}+a y_{2})=(x_{1}+x_{2},\,a(y_{1}+y_{2})).
As duas expressões coincidem, logo esta distributividade (escala sobre soma de vetores) é satisfeita.

Passo 7

Verificação da distributividade do produto escalar em relação à soma de escalares (o outro tipo de distributividade), que costuma ser a problemática aqui. A propriedade exige:
(a+b)\otimes(x,y)=a\otimes(x,y)+b\otimes(x,y)
para quaisquer a,b\in\mathbb{R} e (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
Faço o cálculo simbólico e comparo.
  • Calculo à esquerda:
(a+b)\otimes(x,y)=(x,(a+b)y).
  • Calculo à direita:
a\otimes(x,y)+b\otimes(x,y)=(x,a y)+(x,b y)=(x+x,\,a y + b y)=(2x,\,(a+b)y).
Comparando: a esquerda é (x,(a+b)y) e a direita é (2x,(a+b)y). Esses vetores são iguais somente se x=2x, isto é, somente se x=0. Portanto em geral não são iguais: a propriedade falha para vetores com x\neq 0.

Passo 8

Contraexemplo numérico simples (para ficar claro): escolha a=b=1 e o vetor (x,y)=(1,0).
  • À esquerda:
(1+1)\otimes(1,0)=2\otimes(1,0)=(1,2\cdot 0)=(1,0).
  • À direita:
1\otimes(1,0)+1\otimes(1,0)=(1,1\cdot 0)+(1,1\cdot 0)=(1,0)+(1,0)=(2,0).
Como (1,0)\neq(2,0), temos uma violação explícita da propriedade distributiva. Assim já temos um axioma falso, o que é suficiente para concluir que não é espaço vetorial.

Passo 9

Observação adicional (opcional, reforça o problema): a propriedade 0\otimes(x,y)= (0,0) (onde 0 é o escalar zero) também falha em geral:
  • Calculando 0\otimes(x,y)=(x,0), que é igual a (0,0) somente se x=0. Logo, para vetores com x\neq 0 temos 0\otimes v\neq\mathbf{0}, outro sinal claro de inconsistência com axiomas de espaço vetorial.

Passo 10

Conclusão: como a distributividade em relação à soma de escalares falha (e também 0\otimes v=\mathbf{0} falha para vetores com x\neq 0), o conjunto V=\mathbb{R}^2 com a soma usual e a multiplicação por escalar k\otimes(x,y)=(x,k y) NÃO é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Resposta

Não.

Exercícios relacionados