Verifique se os conjuntos abaixo com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas, são espaços vetoriais.
(a)
(a)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Conjunto:
. - Operação de soma dada por:
. (Esta é a soma usual em .) - Operação de multiplicação por escalar dada por:
. (Observe: o escalar só multiplica a segunda componente.) - Pedido: verificar se o par
é um espaço vetorial (ou seja, se todas as propriedades/axiomas de espaço vetorial sobre o corpo são satisfeitas).
Passo 2
Breve plano (o que vou checar). Para saber se é espaço vetorial preciso verificar os axiomas padrão. Não é necessário checar todos se eu encontrar um contraexemplo a algum axioma: bastará um único axioma falso para concluir que NÃO é espaço vetorial. Vou checar primeiro os axiomas “mais fáceis” (fechamento, soma usual, existência de zero e inverso) e depois os axiomas que envolvem
(associatividade escalar, identidade escalar, distributividades). Vou explicar cada axioma que eu usar ao aplicá-lo.
Passo 3
Verificação das propriedades da soma (rápido, porque a soma é a usual em
).
- Fechamento: para quaisquer
, . Logo fechado. - Associatividade: a soma usual é associativa, ou seja, para quaisquer vetores vale
. - Comutatividade:
. - Elemento neutro (vetor zero):
funciona porque . - Inverso aditivo: para
o inverso é porque .
Portanto, todas as propriedades puramente da soma são satisfeitas.
Passo 4
Fechamento em relação à multiplicação por escalar.
- Para qualquer
e , temos . Logo a operação envia vetores em para : o fechamento é satisfeito.
Passo 5
Verificação de axiomas que envolvem
que costumam ser necessários: identidade escalar e associatividade escalar.
- Identidade escalar: deve valer
para todo . Aqui
logo esse axioma é satisfeito.
- Associatividade de escalares: deve valer
para quaisquer . Calculando:
e
Portanto a associatividade escalar também é satisfeita.
Passo 6
Agora verifico a propriedade de distributividade do escalar em relação à soma de vetores (um dos dois tipos de distributividade):
A propriedade exige
.
- Calculo à esquerda:
- Calculo à direita:
As duas expressões coincidem, logo esta distributividade (escala sobre soma de vetores) é satisfeita.
Passo 7
Verificação da distributividade do produto escalar em relação à soma de escalares (o outro tipo de distributividade), que costuma ser a problemática aqui. A propriedade exige:
para quaisquer
e
.
Faço o cálculo simbólico e comparo.
- Calculo à esquerda:
- Calculo à direita:
Comparando: a esquerda é
e a direita é
. Esses vetores são iguais somente se
, isto é, somente se
. Portanto em geral não são iguais: a propriedade falha para vetores com
.
Passo 8
Contraexemplo numérico simples (para ficar claro): escolha
e o vetor
.
- À esquerda:
- À direita:
Como
, temos uma violação explícita da propriedade distributiva. Assim já temos um axioma falso, o que é suficiente para concluir que não é espaço vetorial.
Passo 9
Observação adicional (opcional, reforça o problema): a propriedade
(onde
é o escalar zero) também falha em geral:
- Calculando
, que é igual a somente se . Logo, para vetores com temos , outro sinal claro de inconsistência com axiomas de espaço vetorial.
Passo 10
Conclusão: como a distributividade em relação à soma de escalares falha (e também
falha para vetores com
), o conjunto
com a soma usual e a multiplicação por escalar
NÃO é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
Não.