Qual é:
A interseção e o ângulo entre as retas x+y=0 e 2 x-y=1 ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) o ponto em que as retas
x+y=0
e
2x - y = 1
se cruzam (interseção) e (2) o ângulo formado entre elas. Para isso, primeiro vamos resolver o sistema linear para achar a interseção, e depois usar a fórmula do ângulo entre duas retas em termos de seus coeficientes angulares (inclinações).

Passo 2

Para encontrar a interseção, resolvemos o sistema
x + y = 0, 2x - y = 1
Somando as duas equações, temos
(x+y) + (2x - y) = 0 + 1 Longrightarrow 3x = 1 Longrightarrow x = tfrac13
Substituindo em x + y = 0, obtemos
tfrac13 + y = 0 Longrightarrow y = -tfrac13
Logo, a interseção é o ponto l(tfrac13, -tfrac13r).

Passo 3

Agora vamos achar os coeficientes angulares ( m) de cada reta.
Para x + y = 0, isolamos y:
y = -x Longrightarrow m1 = -1
Para 2x - y = 1, isolamos y:
y = 2x - 1 Longrightarrow m2 = 2

Passo 4

O ângulo theta entre duas retas de coeficientes angulares m1 e m2 satisfaz
tantheta = |m2 - m11 + m1 m2|
Substituindo m1 = -1 e m2 = 2,
tantheta = |2 - (-1)1 + (-1)cdot 2| = |31 - 2| = |3-1| = 3
Portanto o ângulo agudo entre as retas é
theta = arctan(3)

Resposta

Interseção: l(tfrac13, -tfrac13r).
Ângulo entre as retas: theta = arctan(3) (aproximadamente 71,6^circ).

Exercícios relacionados