(6,0 pontos) Seja A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} um operador linear definido por
A(x, y, z)=(3 x-y+z,-x+5 y-z, x-y+3 z)
(a) ( \mathbf{1 , 0} pontos) Determine a matriz canônica do operador A;
(b) ( \mathbf{1 , 0} pontos) Obtenha p_{A}(\lambda);
(c) ( \mathbf{1 , 0} pontos) Obtenha os autovalores de A;
(d) ( \mathbf{3 , 0} pontos) Para cada autovalor de A, obtenha um autovetor associado.
Passo 1
O enunciado fornece o operador linear
A\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\quad A(x,y,z) = (3x - y + z,\;-x + 5y - z,\;x - y + 3z)
e pede:
(a) a matriz canônica de A;
(b) o polinômio característico p_{A}(\lambda);
(c) os autovalores de A;
(d) para cada autovalor, um autovetor associado.
Passo 2
Para achar a matriz canônica escrevemos as imagens dos vetores da base padrão \mathbf{e}_{1}=(1,0,0), \mathbf{e}_{2}=(0,1,0), \mathbf{e}_{3}=(0,0,1):
Procuramos raízes inteiras de \lambda^{3}-11\lambda^{2}+36\lambda-36. Testando \lambda=2 obtém‐se zero, logo \lambda-2 é fator. Dividindo por \lambda-2 vem
(b) \displaystyle p_{A}(\lambda)=\det([A]-\lambda I)
=-\lambda^{3}+11\lambda^{2}-36\lambda+36
\Longleftrightarrow \lambda^{3}-11\lambda^{2}+36\lambda-36.
(c) Os autovalores são \,2,\,3,\,6.
(d) Autovetores associados:
para \lambda=2: (-1,0,1);
para \lambda=3: (1,1,1);
para \lambda=6: (1,-2,1).