A interseção das superfícies
e
determinam uma curva
. Determine a maior e a menor distância que um ponto de
pode ter em relação à origem. Determine também todos os pontos de
que atingem tais distâncias.
Passo 1
O enunciado define a curva
como interseção das superfícies
e
e pede a maior e a menor distância de um ponto de
à origem, isto é, o máximo e o mínimo de
Vamos usar álgebra e parametrização em vez de multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Como
, temos
Passo 3
Da primeira relação
subtraímos
e obtemos
Note que isso exige
.
Passo 4
Substituindo em
fica
Então precisamos maximizar e minimizar a função
sujeita a
e
.
Passo 5
Parametrize
,
. Então
com a restrição
. Sobre
em
:
- O valor mínimo de
ocorre quando , dando . - O valor máximo de
ocorre quando , dando .
Passo 6
Convertendo:
-
implica . Acontece quando e , ou seja, em . Então , . -
implica . Acontece quando , ou seja, , dando ou . Nessas posições e , logo .
Resposta
- Menor distância:
, atingida em
, , , . - Maior distância:
, atingida em
e
.