A interseção das superfícies x^2-x y+y^2-z^2=1 e x^2+y^2=1 determinam uma curva C. Determine a maior e a menor distância que um ponto de C pode ter em relação à origem. Determine também todos os pontos de C que atingem tais distâncias.

Passo 1

O enunciado define a curva C como interseção das superfícies
x^2-x y+y^2-z^2=1
e
x^2+y^2=1
e pede a maior e a menor distância de um ponto de C à origem, isto é, o máximo e o mínimo de
r=raizx^2+y^2+z^2
Vamos usar álgebra e parametrização em vez de multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Como x^2+y^2=1, temos
r^2=x^2+y^2+z^2=1+z^2

Passo 3

Da primeira relação
x^2-xy+y^2-z^2=1
subtraímos x^2+y^2=1 e obtemos
(x^2+y^2)-xy-z^2=1 ;Longrightarrow;1 - xy - z^2=1 ;Longrightarrow;z^2=-,xy
Note que isso exige xy<=0.

Passo 4

Substituindo em r^2=1+z^2 fica
r^2=1 - xy
Então precisamos maximizar e minimizar a função
f(x,y)=1 - xy
sujeita a x^2+y^2=1 e xy<=0.

Passo 5

Parametrize x=costheta, y=sintheta. Então
xy=tfrac12sin(2theta), f(theta)=1-tfrac12sin(2theta),
com a restrição sin(2theta)<=0. Sobre sin(2theta) em [-1,0]:
  • O valor mínimo de f ocorre quando sin(2theta)=0, dando fmin=1.
  • O valor máximo de f ocorre quando sin(2theta)=-1, dando fmax=1-(-tfrac12)=tfrac32.

Passo 6

Convertendo:
  • fmin=1 implica rmin=raiz1=1. Acontece quando sin(2theta)=0 e xy=0, ou seja, (x,y) em (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1). Então z^2=-xy=0, z=0.
  • fmax=tfrac32 implica rmax=raiztfrac32=tfracraiz62. Acontece quando sin(2theta)=-1, ou seja, 2theta=-tfracpi2+2pi k, dando (x,y)=(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2) ou (-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2). Nessas posições xy=-tfrac12 e z^2=-xy=tfrac12, logo z=pmtfrac1raiz2.

Resposta

  • Menor distância: rmin = 1, atingida em
    (1,0,0), (-1,0,0), (0,1,0), (0,-1,0).
  • Maior distância: rmax = tfracraiz62, atingida em
    l(tfrac1raiz2, -tfrac1raiz2, pm tfrac1raiz2r) e
    l(-tfrac1raiz2, tfrac1raiz2, pm tfrac1raiz2r).

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