e pede as derivadas mistas smashfxy e smashfyx para (x,y)neq(0,0).
Para isso vamos usar a regra do quociente para calcular smashfx e smashfy, e depois derivar cada uma delas novamente trocando a ordem das diferenciações.
Passo 2
Defina
N(x,y)=x^3y - x,y^3, D(x,y)=x^2+y^2,
então f=N/D. Pela regra do quociente,
fx =Nx,D - N,DxD^2
Calculamos
Nx=3x^2y - y^3, Dx=2x,
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fx =(3x^2y - y^3)(x^2+y^2) - (x^3y - x,y^3)cdot 2x(x^2+y^2)^2
Fazendo a expansão e simplificando obtém-se
fx(x,y) =yl(x^4+4x^2y^2-y^4r)(x^2+y^2)^2
Passo 3
De modo análogo, pela regra do quociente para fy temos
fy =Ny,D - N,DyD^2,
com
Ny=x^3-3x,y^2, Dy=2y
Expandindo e simplificando chega-se a
fy(x,y) =xl(x^4-4x^2y^2-y^4r)(x^2+y^2)^2
Passo 4
Agora calculemos
fxy=partialpartial yl[fx(x,y)r]
Escrevendo fx(x,y)=y,T(x,y),(x^2+y^2)^-2 com T=x^4+4x^2y^2-y^4, aplicamos produto e cadeia. Após organização e fatores comuns, o numerador se reduz a
De forma inteiramente análoga, ao derivar fy(x,y) em relação a x obtemos o mesmo resultado para fyx(x,y), em conformidade com o teorema de Clairaut (pois f é C^2 em todo ponto fora da origem). Logo