Seja f: R^2 R dada por f(x, y)=clx^3 y-x y^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Calcule fx y(x, y) e fy x(x, y) quando (x, y) neq(0,0).

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx^3y - x,y^3x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,& (x,y)=(0,0),
e pede as derivadas mistas smashfxy e smashfyx para (x,y)neq(0,0).
Para isso vamos usar a regra do quociente para calcular smashfx e smashfy, e depois derivar cada uma delas novamente trocando a ordem das diferenciações.

Passo 2

Defina
N(x,y)=x^3y - x,y^3, D(x,y)=x^2+y^2,
então f=N/D. Pela regra do quociente,
fx =Nx,D - N,DxD^2
Calculamos
Nx=3x^2y - y^3, Dx=2x,
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fx =(3x^2y - y^3)(x^2+y^2) - (x^3y - x,y^3)cdot 2x(x^2+y^2)^2
Fazendo a expansão e simplificando obtém-se
fx(x,y) =yl(x^4+4x^2y^2-y^4r)(x^2+y^2)^2

Passo 3

De modo análogo, pela regra do quociente para fy temos
fy =Ny,D - N,DyD^2,
com
Ny=x^3-3x,y^2, Dy=2y
Expandindo e simplificando chega-se a
fy(x,y) =xl(x^4-4x^2y^2-y^4r)(x^2+y^2)^2

Passo 4

Agora calculemos
fxy=partialpartial yl[fx(x,y)r]
Escrevendo fx(x,y)=y,T(x,y),(x^2+y^2)^-2 com T=x^4+4x^2y^2-y^4, aplicamos produto e cadeia. Após organização e fatores comuns, o numerador se reduz a
x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6 =(x^2-y^2),(x^4+10x^2y^2+y^4),
e o denominador é (x^2+y^2)^3. Assim
fxy(x,y) =(x^2-y^2),(x^4+10x^2y^2+y^4) (x^2+y^2)^3

Passo 5

De forma inteiramente análoga, ao derivar fy(x,y) em relação a x obtemos o mesmo resultado para fyx(x,y), em conformidade com o teorema de Clairaut (pois f é C^2 em todo ponto fora da origem). Logo
fyx(x,y) =(x^2-y^2),(x^4+10x^2y^2+y^4) (x^2+y^2)^3

Resposta

fxy(x,y)=fyx(x,y) =(x^2-y^2),(x^4+10x^2y^2+y^4) (x^2+y^2)^3, (x,y)neq(0,0)

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