Seja
Calcule o limite
. Justífique rigorosamente sua resposta utilizando o Teorema do Confromto (Sanduíche).
Passo 1
O enunciado pede
onde
O conteúdo envolve comportamento assintótico de funções oscilantes e unbounded. Para haver limite finito pelo Teorema do Confronto, precisaríamos encontrar duas funções que “espremam”
e que tenham o mesmo limite em
.
Passo 2
Observe que
. Como
toma todos os valores em
, a função
não é limitada:
— sempre que ,
explode para
ou
.
Logo, também não é limitada (vai de
até
).
— sempre que
Logo,
Passo 3
Por isso não existe uma desigualdade do tipo
com
finito. Ou seja, não conseguimos usar o Teorema do Confronto para provar convergência a um número real.
Passo 4
Para ver que não há limite, basta exibir duas sequências
em que
tenha comportamentos distintos ou até exploda.
- Seja
. Então , , e
- Seja
. Então , , explode para ou , e
Logo, há subsequências que fazem
tender a
e outras que a
.
Resposta
O limite não existe (a função oscila e é não limitada conforme
).