Seja
f(x)=raizx e^sec (pi / x)
Calcule o limite lim x 0^+ f(x). Justífique rigorosamente sua resposta utilizando o Teorema do Confromto (Sanduíche).

Passo 1

O enunciado pede
limxto0^+f(x),
onde
f(x)=raizx,e^secl(pi/xr)
O conteúdo envolve comportamento assintótico de funções oscilantes e unbounded. Para haver limite finito pelo Teorema do Confronto, precisaríamos encontrar duas funções que “espremam” f(x) e que tenham o mesmo limite em 0^+.

Passo 2

Observe que sec(u)=1/cos(u). Como cos(u) toma todos os valores em [-1,1], a função sec(u) não é limitada:
— sempre que cos(u)=0, sec(u) explode para +infty ou -infty.
Logo, e^sec(u) também não é limitada (vai de 0 até +infty).

Passo 3

Por isso não existe uma desigualdade do tipo
g(x);<=;raizx,e^sec(pi/x);<=;h(x)
com limxto0^+g(x)=limxto0^+h(x)=L finito. Ou seja, não conseguimos usar o Teorema do Confronto para provar convergência a um número real.

Passo 4

Para ver que não há limite, basta exibir duas sequências xnto0^+ em que f(xn) tenha comportamentos distintos ou até exploda.
  1. Seja xn=12npi. Então pi/xn=2npi, cos(2npi)=1, sec(2npi)=1 e
f(xn)=raiztfrac12npi,e^1 =eraiz2npi;longrightarrow;0
  1. Seja yn=12npi+pi/2. Então pi/yn=2npi+tfracpi2, cos(2npi+tfracpi2)=0, secl(2npi+tfracpi2r) explode para +infty ou -infty, e
f(yn)=raizyn,e^sec(pi/yn) ;longrightarrow;+infty
Logo, há subsequências que fazem f tender a 0 e outras que a +infty.

Resposta

O limite não existe (a função oscila e é não limitada conforme xto0^+).

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