Quais das seqüências an convergem e quais divergem ? Para tal, ache o limite de cada seqüência : (neste item, ainda não estamos com uma série)
an=(5 n+1 n) cdot(1-1n)

Passo 1

A questão pede para descobrir se a sequência
an = l(5n+1nr)cdotl(1-1nr)
converge ou diverge, e em caso de convergência calcular o limite. Isso está dentro do conteúdo de limites de sequências, em que vamos usar as propriedades de que o limite de soma é soma dos limites, e de produto é produto dos limites (quando eles existem).

Passo 2

Observando a expressão, podemos simplificar a fração 5n+1n. Separando em dois termos, temos:
5n+1n = 5nn + 1n = 5 + 1n

Passo 3

Substituindo essa simplificação em an, obtemos:
an = l(5 + 1nr) cdot l(1 - 1nr)
Para facilitar, vamos expandir o produto:
an = 5cdotl(1 - 1nr) + 1ncdotl(1 - 1nr) = 5 - 5n + 1n - 1n^2 = 5 - 4n - 1n^2

Passo 4

Agora aplicamos o limite em cada termo separadamente, sabendo que limntoinfty1n=0 e limntoinfty1n^2=0. Assim:
limntoinftyan = limntoinftyl(5 - 4n - 1n^2r) = 5 - 4cdot0 - 0 = 5

Passo 5

Como o limite existe e é finito, a sequência an converge.

Resposta

A sequência converge e limntoinftyan = 5.

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