Quais os intervalos de valores que podem ser representados em Complemento-2, com:
9 bits?

Passo 1

O enunciado pede: “Quais os intervalos de valores que podem ser representados em Complemento-2, com 9 bits?”\n
Informações dadas e o que devemos entregar:
  • Temos exatamente 9 bits para representar números inteiros em complemento de dois.
  • A tarefa é determinar o conjunto (intervalo) de inteiros que podem ser codificados com esses 9 bits.
  • Não precisamos codificar um número específico; precisamos dar os limites mínimo e máximo que são representáveis.

Passo 2

O que é Complemento-2 (do jeito mais prático e didático):
  • Em complemento de dois com n bits, chamamos os bits de b_{n-1}, b_{n-2}, \dots, b_1, b_0, onde b_{n-1} é o bit mais significativo (MSB) e também o bit de sinal.
  • Cada padrão de bits corresponde a um inteiro conforme a fórmula abaixo (essa fórmula é a definição numérica usada em complemento de dois):
\text{valor} = -\,b_{n-1}\,2^{\,n-1} + \sum_{i=0}^{n-2} b_i\,2^{\,i}.
Expliquei cada termo:
  • b_{n-1} é igual a 1 ou 0. Se b_{n-1}=1, então o termo -b_{n-1}2^{n-1} contribui com -2^{n-1} para o valor, ou seja, gera o componente negativo grande que permite representar números negativos.
  • Os outros bits b_i (com i=0,\dots,n-2) têm pesos positivos 2^i como em binário usual.
  • Essa formula é conveniente porque cobre tanto números positivos quanto negativos sem necessidade de bit extra para sinal.

Passo 3

Contagem de padrões e ideia do intervalo:
  • Com n bits existem 2^{n} padrões diferentes (pois cada bit tem 2 opções).
  • Em complemento de dois esses 2^{n} padrões representam exatamente 2^{n} inteiros consecutivos, que vão de um inteiro mínimo até um máximo sem buracos.
  • Para achar o mínimo e o máximo é suficiente olhar os padrões extremos (todos zeros com MSB 0, todos uns com MSB 1, ou combinações com MSB apropriado).

Passo 4

Determinar explicitamente o menor e o maior valor em termos de n:
  • O menor valor ocorre quando b_{n-1}=1 e todos os outros bits são 0. Pela fórmula:
\text{mínimo} = -1\cdot 2^{\,n-1} + \sum_{i=0}^{n-2} 0\cdot 2^{i} = -\,2^{\,n-1}.í
  • O maior valor ocorre quando b_{n-1}=0 e todos os outros bits são 1. Pela fórmula:
\text{máximo} = -0\cdot 2^{\,n-1} + \sum_{i=0}^{n-2} 1\cdot 2^{i} = \sum_{i=0}^{n-2} 2^{i}.á
  • A soma geométrica dá
\sum_{i=0}^{n-2} 2^{i} = 2^{\,n-1}-1.
  • Portanto, o intervalo geral para n bits em complemento de dois é
\left[-\,2^{\,n-1},\;2^{\,n-1}-1\right].

Passo 5

Aplicando ao caso concreto n=9:
  • Calcule 2^{\,n-1} com n=9:
2^{\,n-1} = 2^{8}.
  • Agora calcule 2^{8}. Podemos fazer isso passo a passo sem calculadora: 2^{5}=32, 2^{6}=64, 2^{7}=128, 2^{8}=256. Logo
2^{8}=256.
  • Então o mínimo é
-\,2^{8} = -256,
e o máximo é
2^{8}-1 = 256-1 = 255.

Passo 6

Interpretação concreta em binário (para fixar):
  • O menor valor -256 é representado pelo padrão binário com MSB 1 e todos os outros bits 0. Em 9 bits isso é
100000000_2,
que pela fórmula vale -2^{8} = -256.
  • O maior valor 255 é representado pelo padrão com MSB 0 e os outros todos 1. Em 9 bits:
011111111_2,
e seu valor é 2^{7}+2^{6}+\dots+2^{0}=2^{8}-1=255.
  • Exemplo menor (pra reforçar): com n=4 a mesma regra daria intervalo [-2^{3},\,2^{3}-1]=[-8,7]. Isso é análogo ao caso de 9 bits, só com potências menores.

Resposta

\left[-256,\;255\right]

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