Quais os intervalos de valores que podem ser representados em Complemento-2, com:
9 bits?
9 bits?
Passo 1
O enunciado pede: “Quais os intervalos de valores que podem ser representados em Complemento-2, com 9 bits?”\n
Informações dadas e o que devemos entregar:
Informações dadas e o que devemos entregar:
- Temos exatamente
bits para representar números inteiros em complemento de dois. - A tarefa é determinar o conjunto (intervalo) de inteiros que podem ser codificados com esses
bits. - Não precisamos codificar um número específico; precisamos dar os limites mínimo e máximo que são representáveis.
Passo 2
O que é Complemento-2 (do jeito mais prático e didático):
- Em complemento de dois com
bits, chamamos os bits de , onde é o bit mais significativo (MSB) e também o bit de sinal. - Cada padrão de bits corresponde a um inteiro conforme a fórmula abaixo (essa fórmula é a definição numérica usada em complemento de dois):
Expliquei cada termo:
-
é igual a ou . Se , então o termo contribui com para o valor, ou seja, gera o componente negativo grande que permite representar números negativos. - Os outros bits
(com ) têm pesos positivos como em binário usual. - Essa formula é conveniente porque cobre tanto números positivos quanto negativos sem necessidade de bit extra para sinal.
Passo 3
Contagem de padrões e ideia do intervalo:
- Com
bits existem padrões diferentes (pois cada bit tem 2 opções). - Em complemento de dois esses
padrões representam exatamente inteiros consecutivos, que vão de um inteiro mínimo até um máximo sem buracos. - Para achar o mínimo e o máximo é suficiente olhar os padrões extremos (todos zeros com MSB 0, todos uns com MSB 1, ou combinações com MSB apropriado).
Passo 4
Determinar explicitamente o menor e o maior valor em termos de
:
- O menor valor ocorre quando
e todos os outros bits são . Pela fórmula:
- O maior valor ocorre quando
e todos os outros bits são . Pela fórmula:
- A soma geométrica dá
- Portanto, o intervalo geral para
bits em complemento de dois é
Passo 5
Aplicando ao caso concreto
:
- Calcule
com :
- Agora calcule
. Podemos fazer isso passo a passo sem calculadora: , , , . Logo
- Então o mínimo é
e o máximo é
Passo 6
Interpretação concreta em binário (para fixar):
- O menor valor
é representado pelo padrão binário com MSB e todos os outros bits . Em 9 bits isso é
que pela fórmula vale
.
- O maior valor
é representado pelo padrão com MSB e os outros todos . Em 9 bits:
e seu valor é
.
- Exemplo menor (pra reforçar): com
a mesma regra daria intervalo . Isso é análogo ao caso de bits, só com potências menores.