Quais os intervalos de valores que podem ser representados em Complemento-2, com:
7 bits?

Passo 1

O enunciado pergunta quais valores inteiros podem ser representados em complemento de dois usando exatamente 7 bits.
Informações dadas: temos 7 bits disponíveis para representar números inteiros em complemento de dois (two’s complement).
O que se pede: identificar o intervalo mínimo e máximo (todos os inteiros possíveis) representáveis com 7 bits em complemento de dois.

Passo 2

Conceito básico e ideia principal (passo-a-passo didático):
Em complemento de dois, usamos um bit como “bit de sinal” (o bit mais significativo). Porém a representação não é simplesmente “sinal + magnitude”; em vez disso, o valor numérico de um padrão de bits (b_{6}b_{5}\dots b_{0}) com 7 bits é dado por:
\text{valor} = -b_{6}\,2^{6} + \sum_{i=0}^{5} b_{i}\,2^{i}
Aqui:
  • b_{6} é o bit mais significativo (MSB), vale 0 ou 1.
  • b_{i} para i=0,\dots,5 são os demais bits de peso positivo.
    Explicando em palavras: o MSB, quando igual a 1, contribui com um peso negativo de -2^{6}; os outros bits somam pesos positivos 2^{0},2^{1},\dots,2^{5}. Por isso a faixa é assimétrica (um valor negativo a mais do que positivos).

Passo 3

Fórmula geral do intervalo em complemento de dois com n bits:
Para n bits o menor valor é -2^{\,n-1} e o maior valor é 2^{\,n-1}-1. Ou seja o intervalo é
\left[-2^{\,n-1},\;2^{\,n-1}-1\right].
Motivação curta: o menor ocorre quando b_{n-1}=1 e todos os outros b_i=0, dando -2^{\,n-1}. O maior ocorre quando b_{n-1}=0 e todos os outros b_i=1, dando 2^{\,n-1}-1.

Passo 4

Aplicando ao caso n=7: calcular 2^{\,n-1}=2^{6}.
Calculemos 2^{6}:
2^{6} = 64.
Então, segundo a fórmula, o menor valor é -2^{6} = -64 e o maior é 2^{6}-1 = 64-1 = 63. Portanto o intervalo é
\left[-64,\;63\right].

Passo 5

Exemplos concretos (para você decorar e usar na prova):
  • Representação do maior número positivo 63: todos os bits, exceto o MSB, iguais a 1: 0111111. Verificação pelo peso:
0\cdot(-2^{6}) + 1\cdot2^{5} + 1\cdot2^{4} + 1\cdot2^{3} + 1\cdot2^{2} + 1\cdot2^{1} + 1\cdot2^{0} = 32+16+8+4+2+1 = 63.
  • Representação do -1: todos os bits iguais a 1: 1111111. Verificação (pela fórmula):
-1\cdot2^{6} + (2^{6}-1) = -64 + 63 = -1.
  • Representação do menor número -64: 1000000. Verificação:
1\cdot(-2^{6}) + 0 = -64.
Observação: repara que existe um valor negativo a mais ( -64) do que positivos ( +63) — isso é normal em complemento de dois.

Passo 6

Dica prática para a prova (rápida): se te pedirem o intervalo para n bits, já memoriza: -2^{n-1} até 2^{n-1}-1. Para n=7 só calcular 2^{6}=64 e pronto.

Resposta

-64 até 63

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