Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida) de
Informações dadas:
- A integranda é a soma de duas funções:
e . - Queremos uma antiderivada (ou família de antiderivadas) para essa soma, ou seja uma função
tal que . - Não há condições adicionais (é uma integral indefinida), portanto devemos acrescentar a constante de integração
.
Passo 2
Propriedade fundamental que vamos usar: linearidade da integral. Ela diz que, para funções apropriadas
e
e constante
,
Isso nos permite separar a integral da soma em duas integrais mais simples.
Passo 3
Aplicando a linearidade ao problema:
Agora resolvemos cada integral separadamente.
Passo 4
Integral de
. Usamos a regra do poder (power rule) para integrais: para
,
Aqui
é
, então
e
Explicação rápida: derivando
obtém-se
, então
é uma antiderivada de
.
Passo 5
Integral de
. Aqui é conveniente usar substituição simples. Fazemos a mudança
Substituindo na integral:
Sabemos que
. Portanto
Observação geral: para constante
vale a fórmula
que é exatamente o que usamos com
.
Passo 6
Somando as duas antiderivadas (e lembrando que a constante de integração pode ser agrupada em uma única constante
):
Passo 7
Verificação rápida (boa prática na prova): derivando a resposta obtemos
que é exatamente a função original. Então a primitiva está correta.