\int\left(x+e^{3 x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida) de
\int\left(x+e^{3 x}\right)\,d x.
Informações dadas:
  • A integranda é a soma de duas funções: x e e^{3x}.
  • Queremos uma antiderivada (ou família de antiderivadas) para essa soma, ou seja uma função F(x) tal que F'(x)=x+e^{3x}.
  • Não há condições adicionais (é uma integral indefinida), portanto devemos acrescentar a constante de integração C.

Passo 2

Propriedade fundamental que vamos usar: linearidade da integral. Ela diz que, para funções apropriadas f e g e constante a,
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx, \qquad \int a\,f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx.
Isso nos permite separar a integral da soma em duas integrais mais simples.

Passo 3

Aplicando a linearidade ao problema:
\int\left(x+e^{3 x}\right)\,d x = \int x\,d x + \int e^{3 x}\,d x.
Agora resolvemos cada integral separadamente.

Passo 4

Integral de \int x\,dx. Usamos a regra do poder (power rule) para integrais: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui x é x^{1}, então n=1 e
\int x\,dx=\int x^{1}\,dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}+C=\frac{x^{2}}{2}+C.
Explicação rápida: derivando \dfrac{x^{2}}{2} obtém-se x, então \dfrac{x^{2}}{2} é uma antiderivada de x.

Passo 5

Integral de \int e^{3 x}\,dx. Aqui é conveniente usar substituição simples. Fazemos a mudança
u=3x \quad\Rightarrow\quad du=3\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{3}.
Substituindo na integral:
\int e^{3x}\,dx=\int e^{u}\,\frac{du}{3}=\frac{1}{3}\int e^{u}\,du.
Sabemos que \int e^{u}\,du=e^{u}+C. Portanto
\int e^{3x}\,dx=\frac{1}{3}e^{u}+C=\frac{1}{3}e^{3x}+C.
Observação geral: para constante a\neq 0 vale a fórmula
\int e^{a x}\,dx=\frac{1}{a}e^{a x}+C,
que é exatamente o que usamos com a=3.

Passo 6

Somando as duas antiderivadas (e lembrando que a constante de integração pode ser agrupada em uma única constante C):
\int\left(x+e^{3 x}\right)\,d x = \frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{3}e^{3x}+C.

Passo 7

Verificação rápida (boa prática na prova): derivando a resposta obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{3}e^{3x}+C\right) = x+\frac{1}{3}\cdot 3e^{3x} = x+e^{3x},
que é exatamente a função original. Então a primitiva está correta.

Resposta

\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{3}e^{3x}+C

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