Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é a soma de um polinômio
e da função seno (a mesma que escrevemos como em notação usual). - É uma integral indefinida: o resultado deve conter a constante de integração
. - A variável de integração é
.
Passo 2
Propriedade importante que vamos usar: linearidade da integral. Isso significa que a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
Aqui podemos aplicar essa propriedade ao integrando
.
Passo 3
Usando a linearidade, separamos a integral:
Agora tratamos cada integral separadamente.
Passo 4
Integral do polinômio
: usamos a regra da potência para integrais. A regra diz que, para todo real
,
Aqui
, então
(Em provas, é útil lembrar que essa fórmula vem de inverter a derivada:
.)
Passo 5
Integral da função seno: conhecemos que a derivada do cosseno é
. Invertendo essa relação, a integral da função seno é
Como verificação rápida: derivando
obtém-se
.
Passo 6
Somando os resultados das duas integrais (e combinando as constantes de integração em uma única constante
), obtemos