\int\left(x^{2}+\operatorname{sen} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}+\operatorname{sen} x\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é a soma de um polinômio x^{2} e da função seno \operatorname{sen} x (a mesma que escrevemos como \sin x em notação usual).
  • É uma integral indefinida: o resultado deve conter a constante de integração C.
  • A variável de integração é x.

Passo 2

Propriedade importante que vamos usar: linearidade da integral. Isso significa que a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.
Aqui podemos aplicar essa propriedade ao integrando x^{2}+\sin x.

Passo 3

Usando a linearidade, separamos a integral:
\int\left(x^{2}+\sin x\right)\,dx=\int x^{2}\,dx+\int \sin x\,dx.
Agora tratamos cada integral separadamente.

Passo 4

Integral do polinômio x^{2}: usamos a regra da potência para integrais. A regra diz que, para todo real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=2, então
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
(Em provas, é útil lembrar que essa fórmula vem de inverter a derivada: \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^{n}.)

Passo 5

Integral da função seno: conhecemos que a derivada do cosseno é \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x. Invertendo essa relação, a integral da função seno é
\int \sin x\,dx=-\cos x + C.
Como verificação rápida: derivando -\cos x obtém-se \sin x.

Passo 6

Somando os resultados das duas integrais (e combinando as constantes de integração em uma única constante C), obtemos
\int\left(x^{2}+\sin x\right)\,dx=\frac{x^{3}}{3}-\cos x + C.

Resposta

\dfrac{x^{3}}{3}-\cos x+C

Exercícios relacionados