(1,5) Verifique que x+y+e^{x y}=0 é uma solução implícita para a equação
\left(1+x e^{x y}\right) \frac{d y}{d x}+1+y e^{x y}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(1 + x e^{x y}) \frac{d y}{d x} + 1 + y e^{x y} = 0
e a solução implícita proposta
x + y + e^{x y} = 0.
Para verificar, vamos usar diferenciação implícita.

Passo 2

Derivamos implicitamente x + y + e^{x y} = 0. A derivada de x em relação a x é 1, de y é \frac{d y}{d x} e de e^{x y} pelo teorema da cadeia é e^{x y}\cdot\frac{d}{d x}(x y). Como
\frac{d}{d x}(x y) = y + x \frac{d y}{d x},
obtemos
1 + \frac{d y}{d x} + e^{x y}\bigl(y + x \tfrac{d y}{d x}\bigr) = 0.

Passo 3

Agrupando os termos em \frac{d y}{d x}, temos
\bigl(1 + x e^{x y}\bigr)\frac{d y}{d x} + \bigl(1 + y e^{x y}\bigr) = 0,
que coincide exatamente com a equação diferencial dada.

Resposta

A relação implícita x + y + e^{x y} = 0 satisfaz a equação diferencial
(1 + x e^{x y}) \frac{d y}{d x} + 1 + y e^{x y} = 0.

Exercícios relacionados