\int\left(3 x^{2}+5+\sqrt{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiv­a \displaystyle \int\bigl(3x^{2}+5+\sqrt{x}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é a regra de potência para antiderivadas: para n\neq -1 vale \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C. Vamos aplicar termo a termo.

Passo 2

Para o termo 3x^{2} usamos a linearidade e a regra de potência com n=2:
\int 3x^{2}\,dx = 3\int x^{2}\,dx =3\cdot\frac{x^{2+1}}{2+1} =3\cdot\frac{x^{3}}{3} =x^{3}.

Passo 3

Para o termo constante 5 temos
\int 5\,dx = 5x.

Passo 4

Para \sqrt{x}=x^{1/2} aplicamos a regra de potência com n=\tfrac12:
\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{1/2+1}}{\tfrac12+1} =\frac{x^{3/2}}{\tfrac32} =\frac{2}{3}\,x^{3/2}.

Passo 5

Somando todas as partes e incluindo a constante de integração C, obtemos a antiderivada geral:

Resposta

x^{3} + 5x + \frac{2}{3}x^{3/2} + C.

Exercícios relacionados