\int\left(x^{3}+2 x+3\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(x^{3} + 2x + 3\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é a integração de polinômios, usando a regra de potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Integramos o primeiro termo \,x^{3} aplicando a regra de potência com n=3:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.

Passo 3

Integramos o segundo termo 2x. Podemos fatorar a constante 2 e usar a regra com n=1:
\int 2x\,dx = 2 \int x\,dx = 2 \cdot \frac{x^{2}}{2} = x^{2}.

Passo 4

Integramos o terceiro termo 3, que é uma constante:
\int 3\,dx = 3x.

Passo 5

Somamos os resultados de cada termo e acrescentamos a constante de integração C:
\frac{x^{4}}{4} + x^{2} + 3x + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{4}}{4} + x^{2} + 3x + C

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